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1、江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十一（每日一题）已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得，（2）由（1）得，①②①-②得.，设，则由得随的增大而减小时，又恒成立，（3）由题意得恒成立记，则是随的增大而增大的最小值为，，即.江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十二（每日一题）设函数（1）求证：；（2）求证：函数在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设是函数的两个零点，求的范围。证明：（1）2′又又2c=－3a－2b由3a＞2c＞2b∴3a＞－3a－2b＞
2、2b∵a＞04′（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点6′②当c≤0时，∵a＞0∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点（3）∵x 1，x2是函数f（x）的两个零点则的两根∴15′江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十三（每日一题）已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的表达式；(2)若x∈N*且x≥2时，不
3、等式f(x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.解:(1)令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1……2分∴f(x+1)－f(x)=2x+4……4分∴当x∈N*时，有f(2)－f(1)=2×1+4f(3)－f(2)=2×2+4,f(4)-f(3)=2×3+4.…f(x)－f(x-1)=2(x-1)+4.……5分将上面各式相加得f(x)=x2+3x－3 (x∈N*).……6分(2)当x∈N*且x≥2时，f(x)=x2+3x－3.要使不等式f(x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立.即当x∈N*且x≥2时,不等式x2+3x－3≥(a+7
4、)x－(a+10)恒成立,……7分即x2-4x+7≥a(x－1)恒成立∵x≥2,∴≥a恒成立.……8分又=(x－1)+－2≥2.……10分(当且仅当x－1=即x=3时取“等号”)∴的最小值是2，故a≤2.……12分江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十四（每日一题）已知R,函数(x∈R).（1）当时，求函数的单调递增区间;（2）函数是否在R上单调递减，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由;（3）若函数在上单调递增，求的取值范围.解：(1)当时,,.……2分令,即,即，解得.函数的单调递增区间是.……4分(2)若函数在R上单调递减,则对R都成立,……5分即对R都成
5、立,即对R都成立.……6分,解得.……7分当时,函数在R上单调递减.……8分(3)解法一：函数在上单调递增,对都成立,9分对都成立.对都成立,…10分即对都成立.……11分令,则.当时，；当时，.在上单调递减,在上单调递增.，在上的最大值是..……14分解法二：函数在上单调递增,对都成立,对都成立.即对都成立.10分令，则解得……13分.…14分江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十五（每日一题）已知数列的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn－1－an－1（）.（1）求证：数列是等比数列；（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+b
6、n；（3）若cn=，且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.[解析]（1），∴{a n}是以为公比的等比数列…………4分（2）由（1）知，∴∴∴∴∴…………8分（3）由题意知恒成立，即对任意自然数n恒成立。∵t>0,∴tn>0。①若t>1，则lgt>0，且，∴t>1……10分②若t=1，lgt=0不合题意…………11分③若01.…………14分江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十六（每日一题）已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）（1）
7、求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），（3），而，即，，同理，，又江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十七（每日一题）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02
