中学全国数学奥赛题精选

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1、数学计算的智巧数学计算不仅要遵守四则运算法则，更重要的是要运用机智寻找到一种巧妙合理的算法.机智来自细心的观察和大胆的探索，因此在学习数学中要努力学会观察和分析，培养积极探索的精神.1．倒过来写例1求和1+2+3+…+999.分析在高速计算机上解决这个问题太容易了，但人不是计算机！你能找到一种巧妙的算法吗？观察S=1+2+3+…+997+998+999.①做这一长串加法的困难在于各数互不相等，但不等中包含着相等——首末两项之和与和首末两项等距离的两项之和相等！这时，机智的做法是将S倒过来写：S=999+998+997+…3+2+1.②将①②两式左、右分别相加，便把加法转化为乘法了:2

2、S=(1+999)×999,从而得S=499500.这种巧妙的求和方法是德国少年高斯的杰作.请将999换成任意自然数n后写出解答过程.答:例2试证不等式.2.添加括号例3计算S=1-2+3-4+…+分析不难看出这个算式的规律——任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将1、2项，3、4项，…，分别编组的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯而取“加括号”之法得S=（1-2）+（3-4）+…+134比“加括号”更一般的思想方法是“分组求和”.例4在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数手只、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.解（1

3、）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3×(-3)+4=4.(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=-14.3.任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-56.（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4

4、×1=1961×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=-36；1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=144.所以，所求的和为-1.3.一分为二例5（1978年上海中学生数学竞赛题）比较（n为任意自然数）与2的大小.分析关键是将写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次称的各项分别为第1项，第2项，…，第n项，对第k项变形4.画一个图为了求和S＇=1+2+…+10，可作一个阶梯形（如图1-1中阴影部分），图中每个小方格为一个面积单位，可见S＇为阶梯形的面积，将两个同样的阶梯形拼在一起得一个11×13410的矩形，此矩形面积的一半即S＇.仿此可以求例1中的S，画

5、图的好处由此可见一斑.例6（第19届国际数学竞赛题）有限个实数（可以重复）按一定顺序排成一列，任意连续七个数之和为负，任意连续十一个数之和为正，确定这些实数最多有几个，分析文字信息有使人坠入五里雾中之感，将这有限个实数依次编号为①、②，…，如图1-2所示.把图中的数字同时向前挪一位，挪二位，…，便可以看出，从第12个数起，任意连续三数之和为负；从第15个数起，每一个数都为正，因编号为15、16、17的三个正数之和不可能是负的，故这些实数最多有16个，例如可以验证（）5，5，-13，5，5，5，-13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5这一列数满足题设条件，表可以看成是一种特殊

6、的图.例7，对于n个连续的自然数1，2，3，…，n，作出其一切可能的和数（被加数的个数从1到n），证明得到的和数中至少有个两两互不相同，分析从联想到例1的推广了的结论，即=1+2+…+n，触发猜想：所述和数至少可以分成n批，第一批一个，第二批两个，…，第n批n个，则问题获得解决，注意到1＜2＜3＜…＜n-1＜n，取出若干和数列成下表：134此表中恰有个和数，显然它们两两互不相等.练习一1.填空题（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99等于_______.（2）1至100所有不能被9整除的自然数的和等于_______.（3）计算（2.选择题(1)乘积等于().(A

7、)(B)(C)(D)(2)(第36届美国中学数学竞赛题)从和式中,必须除去(),才能使余下的项的和等于1(A)(B)(3)设a、b、c为互相等的整数，满足的数组（a、b、c）有（）个.（A）2（B）无数多（C）1（D）3（4）分母是1001的最简真分数共有（）个.（A）720（B）693（C）692（D）7213求和S=1·1+2·2·1+3·3·2·1+…n·n(n-1)…·2·1.4（第1届“从小爱数学”邀请赛试题）一串数：中，（1）是第几个分数？（2