2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第8节直线与圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系课时跟踪检测文新人教A版.doc

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1、第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系A级·基础过关

2、固根基

3、1.若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则实数m的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞)D.(0,3)∪(3,+∞)解析:选B 由得(m+3)x2+4mx+m=0.由Δ=16m2-4m(m+3)>0且m≠3及m>0,得m>1且m≠3.2.设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B两点向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则实数k等于(  )A.±B.±C.±D.±2解析:选A 由题意可知,点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标,又c

4、=1,当k>0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得解得∴k=;同理可得当k<0时,k=-.故选A.3.若点(3,1)是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p的值是(  )A.1B.2C.3D.4解析:选B 设过点(3,1)的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则由①-②得,y-y=2p(x1-x2),即=,由题意知kAB=2,且y1+y2=2,故kAB==2,所以p=2.-8-4.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于

5、M,N两点,连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为,则的值是(  )A.B.C.D.解析:选A 由得(m+n)x2-2nx+n-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,所以y1+y2=,所以线段MN的中点为P.由题意知,kOP=,所以=.故选A.5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)及点B(0,a),过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF=(  )A.60°B.90°C.120°D.150°解析:选B 由题意知,切线的斜率存在,设切线方程y=kx+a(k>0),与椭圆方程联立消去y整理得(b2

6、+a2k2)x2+2ka3x+a4-a2b2=0,由Δ=(2ka3)2-4(b2+a2k2)(a4-a2b2)=0,得k=,从而y=x+a,交x轴于点A,又F(c,0),易知·=0,故∠ABF=90°.6.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·=________. 解析:依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,当

7、直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.-8-答案:-7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,经过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点,若

8、PQ

9、=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为________.解析:不妨设点P在第一象限,O为坐标原点,由对称性可得

10、OP

11、==,因为AP⊥PQ,所以在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°,易得P,代入椭圆方程得+=1,故a2=5b2=5(a2-c2),所以椭圆C的离心率e=.答案:8.(2019届长春模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原

12、点,若

13、AB

14、=6,则△AOB的面积为________.解析:因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),当直线AB垂直于x轴时,

15、AB

16、=4,不满足题意,所以设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,所以

17、y1-y2

18、=.且

19、AB

20、=

21、y1-y2

22、=6,所以4=6,解得k2=2,所以

23、y1-y2

24、==2,所以△AOB的面积为S△AOB=×1×2=.答案:9.已知点Q是抛物线C1:y2=2px(p>0)上异于坐标原点O的

25、点,过点Q与抛物线C2:y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A,B.若点Q的坐标为(1,-6),求直线AB的方程及弦AB的长.解:由Q(1,-6)在抛物线y2=2px上,可得p=18,所以抛物线C1的方程为y2=36x.设抛物线C2的切线方程为y+6=k(x-1).联立消去y,得2x2-kx+k+6=0,由于直线与抛物线C2相切,故Δ=k2-8k-48=0,解得k=-4或k=12.由得A;-8-由得B.所以直线AB的方程为12x-2y-9=0,弦AB的长为2.10.已知点M在椭圆G:+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(

26、1)求椭圆G的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.解:

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