2021高考数学一轮复习课时作业73不等式的证明理.doc

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1、课时作业73　不等式的证明[基础达标]1．[2018·江苏卷]若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．证明：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，当且仅当＝＝时，等号成立，此时x＝，y＝，z＝，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.2．[2019·河北省“五个一名校联盟”高三考试]已知函数f(x)＝

2、2x－1

3、，x∈R.(1)解不等式f(x)<

4、x

5、＋1；(2)若对x，y∈R，有

6、x－y－1

7、≤，

8、2y＋1

9、≤，求证：f(x)<1.解析：(1)∵f(x

10、)<

11、x

12、＋1，∴

13、2x－1

14、<

15、x

16、＋1，即或或得≤x<2或0

17、x

18、＋1的解集为{x

19、0

20、2x－1

21、＝

22、2(x－y－1)＋(2y＋1)

23、≤

24、2(x－y－1)

25、＋

26、2y＋1

27、＝2

28、x－y－1

29、＋

30、2y＋1

31、≤2×＋＝<1.3．[2019·湖南衡阳八中模考]已知函数f(x)＝

32、2x－1

33、＋

34、x＋1

35、.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋

36、x＋1

37、的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.解析：(1)依题意，得f(x)＝于是f(x)≤3⇔或或解得－1≤x≤1.即不等式f(x)≤3

38、的解集为{x

39、－1≤x≤1}．(2)g(x)＝f(x)＋

40、x＋1

41、＝

42、2x－1

43、＋

44、2x＋2

45、≥

46、2x－1－2x－2

47、＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时，取等号，∴M＝[3，＋∞)．5要证t2＋1≥＋3t，即证t2－3t＋1－≥0.而t2－3t＋1－＝＝.∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1＞0，∴≥0.∴t2＋1≥＋3t.4．[2019·大理模拟]已知函数f(x)＝

48、x

49、＋

50、x－3

51、.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y

52、y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．解析：(1)f(x)＝

53、x

54、＋

55、x－3

56、＝f(x)－5≥x，即或

57、或解得x≤－或x∈∅或x≥8，所以不等式的解集为∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)

58、2x＋1

59、＋

60、2x－1

61、＜4的解集为M.(1)求集合M；(2)设实数a∈M，b∉M，证明：

62、ab

63、＋1≤

64、a

65、＋

66、b

67、.解析：(1)当x＜－时，不等式化为：－2x－1＋1－2x＜4，即x＞－1，所以－1＜x＜－；当－≤x≤时，不等式化为：

68、2x＋1－2x＋1＜4，即2＜4，所以－≤x≤；当x＞时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即x＜1，5所以＜x＜1，综上可知，M＝{x

69、－1＜x＜1}．(2)方法一：因为a∈M，b∉M，所以

70、a

71、＜1，

72、b

73、≥1.而

74、ab

75、＋1－(

76、a

77、＋

78、b

79、)＝

80、ab

81、＋1－

82、a

83、－

84、b

85、＝(

86、a

87、－1)(

88、b

89、－1)≤0，所以

90、ab

91、＋1≤

92、a

93、＋

94、b

95、.方法二：要证

96、ab

97、＋1≤

98、a

99、＋

100、b

101、，只需证

102、a

103、

104、b

105、＋1－

106、a

107、－

108、b

109、≤0，只需证(

110、a

111、－1)(

112、b

113、－1)≤0，因为a∈M，b∉M，所以

114、a

115、＜1，

116、b

117、≥1，所以(

118、a

119、－1)(

120、b

121、－1)≤0成立．所以

122、

123、ab

124、＋1≤

125、a

126、＋

127、b

128、成立．6．[2020·开封市定位考试]已知函数f(x)＝

129、x－1

130、＋

131、x－m

132、(m＞1)，若f(x)＞4的解集是{x

133、x＜0或x＞4}．(1)求m的值；(2)若正实数a，b，c满足＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.解析：(1)∵m＞1，∴f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，由f(x)＞4的解集及函数f(x)的图象得，得m＝3.(2)由(1)知m＝3，从而＋＋＝1，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥9，当且仅当a＝3，b＝，c＝1时“＝”成立．[能力挑战]7．[2019·全国卷Ⅲ]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.5(1)求

134、(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解析：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(