六年级奥数进位制问题讲座

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1、六年级奥数进位制问题讲座进位制问题内容概述本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析求解这个问题：不管在几进制均有(4)×(3)=(12)．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是

2、出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)×(13)=(2)，因2<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道<10．所以，只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：

3、12120l201101101211213进制l6413479进制所以，首位为．评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制．如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．101000011012进制2418进制(10100001101)=(241)．3．在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】()=×62＋×6+=36+6+；()=×92+×9+=81+9+．所以36+6+=81+9+；于是3=3b+80；因为3是的

4、倍数，80也是的倍数．所以3也必须是的倍数，又(3，)=1．所以，=0或．①当=0，则3=80；则7=16；(7，16)=1，并且、≠0，所以=16，=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当=，则3=3×+80；则7=3+16；d7后，3+2≡0所以=2或者2+7(为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2．于是，3=1+80×2；=．于是()=(2)=×62+×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+

5、8+7，试确定出所有可能的、、及．【分析与解】我们注意①-②得：(-1)+(-1)=1987-2．则(-1)(+1)+(-1)=1962，即(-1)[(+1)+]=1962．所以，1962是(-1)的倍数．1962=2×9×109：当-1=9时，=10，显然不满足；当-1=18时，=19，则（-1)[(+1)+]=18×(20+)=1962；则20+=109，所以，显然，当=109不满足，=2×109不满足，当=9×109也不满足．于是为(9B)=(1987)，B代表11．．下面加法算式中不同字

6、母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、、D的和为多少?【分析与解】于是，我们知道=4，所以为4进制，则A+B++D=3+1+2+0=6．6一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数【分析与解】我们现把1024转化为二进制：(1024)=2=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如=则，可以含2

7、个l，4个1，6个1，8个l，10个1．于是为==4+210+210+4+1=11于是，小于1024的“坏数”有11个7．计算：26的余数．【分析与解】==26=(222)所以，÷26=÷(222)(222)整除(222)，2003÷3：667……2，所以余(22)=8．所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】我们设(3)=(4)=()；我们知道(4)在(

8、400)～(488)之间，也就是4×92～×92-1，也就是324～406；还知道()在(00)～(77)之间，也就是×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3)在(300)～(399)之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条9一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天?②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又