角平分线定理使用中的几种辅助线作法.doc

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1、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题:如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，所以AD为∠BAC的对称轴，又因为BE⊥AD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，所以BE=FC=（AC－AF）=（AC－AB），所以。二、已知一个点

2、到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。求证：∠BAP＋∠BCP=180°。证明：经过点P作PE⊥AB于点E。因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，所以PE=PD。在Rt△PBE和Rt△PBC中所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），所以BE=BD。因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，所以AE=CD。因为PE⊥AB，PD⊥BC，所以∠PEB=∠PDB=90°.在△PAE和Rt△PCD中所以△PAE≌Rt△PCD，所以∠PCB=∠EAP。因为∠BAP＋∠EAP=180°，所以

3、∠BAP＋∠BCP=180°。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2.证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2。妙加辅助线解角平分线问题提到角平分线问题，我们很自然的想到角平分线有关的定理：1、角平分线性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；2、角平分线判定定理：到一

4、个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。那么，你知道怎么运用它们进行解有关的题目吗？下面与同学们谈一谈如何正确添加辅助线解解有关的题目。一、作垂线段当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种：1、把已知角平分两个相等的小角；2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。例1如图，已知：∠A=90º，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：CP平分∠DCB。分析：因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD，垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分∠DCB。APBDEC1234证明：作PE⊥CD

5、，垂足为E，∴∠3=∠A=90º，∵PD平分∠ADC，∴PA=PE，又∵∠B=∠3=90º，∴PB=PE，∴点P在∠DCB的平分线上，∴CP平分∠DCB。二、利用垂线，构造等腰三角形例2、如图，已知：ΔABC中AD垂直于∠C的平分线于D，DE∥BC交AB于E.求证：EA=EB。分析：由AD垂直于∠C的平分线于D，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD交BC与点F，得D是AF的中点，又因为DE∥BC，由三角形中位线定理得EA=EB。AEBFC12D证明：延长AD交BC与点F，∵CD平分∠ACF，∴∠1=∠2，又AD⊥CD，∴ΔADC≌ΔFDC，∴AD=FD，又∵DE∥BC，∴

6、EA=EB。与角平分线相关的作图题举例1、如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。请你画出灯柱的位置P。图1图2分析：线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。解：如图2所示，作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，相交于点P。点P就是所求作的点。图3图42、如图3所示，要在两条公路的中间修建一座加油站，位置选在到两条公路的距离相等，并且到两条公路交叉点A处的距离为2cm（指的是图上距离）。请你设计

7、出加油站的位置，并说明你的理由。分析：在实际生活中，会经常用到角平分线的性质定理和逆定理，解决此类问题的关键是从实际问题中构造出数学模型，然后利用数学知识解决问题。解：如图4所示，作∠BAC的角平分线AD，在AD上截取AP，使AP=2cm。点P就是所求作的点。图5图63、如图5所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花。请你设计出一个方案，并说明你的理由。分析：要想以长为20m、30m、40m的边构造