常见辅助线的作法有以下几种.doc

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1、常见辅助线的作法有以下几种:1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等

2、,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.应用:1、(09崇文二模)以△ABCD的两边AB、AC为腰分别向外作等腰R

3、t△ABDD和等腰Rt△ACED,∠BAD=∠CAE=90Ð=Ð,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图①当△ABCD为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;(2)将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ(0<θ<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.二截长补短2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD3、如图,已知在△ABCV内,∠BAC=60,∠C=40,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BACÐ

4、,∠ABCÐ的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABCÐ,求证:∠A+∠C=180度5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC应用:一、平移变换例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为AP,△EBC周长记为BP.求证BP>AP.例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=O

5、D2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.应用:1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成

6、立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。五、旋转例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.例2D为等腰Rt△ABCD斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDNÐ绕点D转动时,求证DE=DF。(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。例3如图,△ABCD是边长为3的等边三角形,∠BDCD是等腰三角形,且∠BDC=120Ð=,以D为顶点做一个60度角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AMND的周长为;应用:1、已知四边形ABCD中,AB┴AD^,BC┴CD^,AB=BC=,∠AB

7、C=120,∠MBN=60=。o∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当∠MBN绕B点旋转到AE=CF=时(如图1),易证AE+CF=EF+=.当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF¹时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AECF,,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.2、(西城09年一模)已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落

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