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1、实验五常微分方程数值解一．欧拉法1．算法说明对于xi，i=0,1,2，…，n，取步长h为定值时，有h=xi+1-xi，EURLER法的计算公式为：yi+1=yi+h*f(xi,yi)；i=0,1,2，…，n。2．程序中主要符号说明a为x的下界，b为x的上界，h为步长，n为循环次数（即为x的数值点数减一），x0、y0为循环初始值，x1、y1为输出值。3．计算流程框图开始读入数据x0，y0，h，nFORI=1TONX0+H=>X1,Y0+H*F(X0,Y0)=Y1输出X1，Y1X1=>X0Y1=>Y0NEXT结束4．程序清单symsabhnx0y0x1y1;a=0;b=0.1;n=
2、5;x0=0;y0=1;h=(b-a)/n;forj=1:nx1=x0+h;y1=y0-h*0.9*y0/(1+2*x0);x1y1x0=x1;y0=y1;end1．算例及输入数据说明算例：求解初值问题当x=0,0.02,0.04,…,0.10时的数值解。输入数据说明：a=0;a为x的下界b=0.1;b为x的上界n=5;n为循环次数，即为x的数值点数减一x0=0;x（0）的值y0=1;y(0)的值2．程序运行结果及结果分析运行结果：x1=0.0200y1=0.9820x1=0.0400y1=0.9650x1=0.0600y1=0.9489x1=0.0800y1=0.9337x1
3、=0.1000y1=0.9192结果分析：欧拉法计算简单，但计算效率并不高，计算精度很低，局部截断误差较大。一．改进欧拉法1．算法说明对于xi，i=0,1,2，…，n，取步长h为定值时，有h=xi+1-xi，EURLER法的计算公式为： yp=yi+h*f(xi,yi) yc=yi+h*f(xi+1,yp) yi+1=(yp+yc)/2；i=0,1,2，…，n。2．程序中主要符号说明a为x的下界，b为x的上界，h为步长，n为循环次数（即为x的数值点数减一），x0、y0为循环初始值，yp、yc为运算中间值，x1、y1为输出值。3．计算流程框图开始读入数据x0，y0，h，nFO
4、RI=1TONX0+H=>X1Y0+H*F(X0,Y0)=>YPY0+H*F(X0,Y0)=>YC(YP+YC)/2=>Y1输出X1，Y1X1=>X0Y1=>Y0NEXT结束1．程序清单symsabhnx0y0ypycx1y1;a=0;b=0.1;n=5;x0=0;y0=1;yp=1;yc=1;h=(b-a)/n;forj=1:nx1=x0+h;yp=y0-h*0.9*y0/(1+2*x0);yc=y0-h*0.9*yp/(1+2*x1);y1=(yp+yc)/2;x1y1x0=x1;y0=y1;end1．算例及输入数据说明算例：求解初值问题当x=0,0.02,0.04,…,0
5、.10时的数值解。输入数据说明：a=0;a为x的下界b=0.1;b为x的上界n=5;n为循环次数，即为x的数值点数减一x0=0;x(0)的值y0=1;y(0)的值yp=1;由y(0)的值决定yc=1;由y(0)的值决定2．程序运行结果及结果分析x1=0.0200y1=0.9825x1=0.0400y1=0.9660x1=0.0600y1=0.9503x1=0.0800y1=0.9354x1=0.1000y1=0.9212结果分析：计算过程比欧拉法较复杂，但改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。一．龙格库塔法
6、1．算法说明对于xi，i=0,1,2，…，n，取步长h为定值时，有h=xi+1-xi，EURLER法的计算公式为：yi+1＝yi＋h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6 K1=f(xi,yi) K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2) K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2) K4=f(xi+h,yi+h*K3)；i=0,1,2，…，n。2．程序中主要符号说明h为步长，n为循环次数（即为x的数值点数减一），x0、y0为循环初始值，k1,k2,k3,k4为运算中间值，x1、y1为输出值。3．计算流程框图开始读入数据x0，y0，h，nFORI=1TONX0+H=
7、>X1F(X0,Y0)=>K1F(X0+H/2,Y0+K1*H/2)=>K2F(X0+H/2,Y0+K2*H/2)=>K3F(X0+H,Y0+K3*H)=>K4Y0+(K1+2K2+2K3+K4)=>Y1输出X1，Y1X1=>X0Y1=>Y0NEXT结束1．程序清单symshnx0y0x1y1k1k2k3k4;x0=0;y0=1;h=0.2;n=5;forj=1:nx1=x0+h;k1=x0+y0;k2=x0+h/2+y0+k1*h/2;k3=x0+h/2+y0+k2*h/2;k4=x0+h
