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1、泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得x,y,zX,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5C[a,b]空间即连续函数空间例6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.开球定
2、义设（X,d）为度量空间，d是距离，定义U(x0,)＝{x∈X
3、d(x,x0)<}为x0的以为半径的开球，亦称为x0的一领域.2.极限定义若{xn}X,xX,s.t.则称是点列{xn}的极限.3.有界集定义若，则称A有界4.稠密集定义设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令表示M的闭包，如果,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。5.可分空间定义如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。第三节连续映射1.定义设X=(X,d),Y=(Y,)是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0,如果对于任意给定的正数，存在正数，使对X中一切满足的x，有，则称T在连续.2.定理1设T是度
4、量空间（X,d）到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有3.定理2度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像是X中的开集.第四节柯西（cauchy）点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，是X中点列，如果对任意给定的正数，存在正整数,使当n,m>N时，必有，则称是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在（X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.【注意】（1）Q不是完备集（2）完备（3）cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列.（4）C[a,b]完备2.定理完备度量空间X的子空间M是完备
5、空间的充要条件为M是X中的闭子空间.第五节度量空间的完备化1.定义设（X,d）,(,)是两个度量空间，如果存在X到上的保距映射T，即，则称（X,d）和(,)等距同构，此时T称为X到上等距同构映射。2.定理1（度量空间的完备化定理）设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=(,)，使X与的某个稠密子空间W等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,)也是一完备度量空间，且X与的某个稠密子空间等距同构，则(,)与(,)等距同构。3.定理1’设X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间=(,)，使X为的稠密子空间。第六节压缩映射原理及其应用1.定义设X是度量空间，T是
6、X到X中的映射，如果存在一个数，0<<1，使得对所有的,,则称T是压缩映射。1.定理1（压缩映射定理）（即Barnach不动点定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）.补充定义：若Tx=x,则称x是T的不动点。x是T的不动点x是方程Tx=x的解。2.定理2设函数在带状域中处处连续，且处处有关于y的偏导数.如果还存在常数m和M满足,则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：第七节线性空间1.定义1设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（1）关于加法成为交换群，即对任
7、意x,yX，存在uX与之相对应，记为u=x+y,称为x和y的和，满足1）；2）；3）在X中存在唯一元素，使对任何,成立，称为X中零元素；4）对X中每个元素x，存在唯一元素，使，称为的负元素，记为；（2）对于X中每个元素，及任意实数（或复数）a，存在元素u与之对应，记为，称为a与x的数积，满足1）；2）对任意实数（或复数）a和b成立；3），则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X是实（复）线性空间。例1Rn,对Rn中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义x+y=(ξ1+
8、η1,ξ2+η2,…,ξn+ηn),ax=(aξ1,aξ2,…,aξn).容易验证Rn按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.2.定义2设x1,x2,…,xn是线性空间X中的向量,如果存在n个不全为零的数α1,α2,…,αn,使α1x1+α2x2+…+αnxn=0,(1)则称x1,x2,…,xn线性相关,否则称为线性无关.不难看出,x1,x2,…,xn线性无关的充要条件为,若,必有α1=α2=…=αn=0.3.定义3设M
