泛函分析知识点总结.doc

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1、泛函分析一，距离空间定义1.1.1设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：1）d(x,y)≥0（非负性）2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3）d(x,y)=d(y,x)4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。1.2设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。1.3d(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列

2、收敛到x,存在一个y的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。(利用三角不等式证明)2.1开球的定义（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X

3、d(x,x0)

4、。任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。接触点：点x0称为A的接触点，若存在一个x0的开球与A的交不为空集。（点x0可以属于A，也可以不属于A）聚点：点x0称为点A的聚点，若存在点x0的任意一个开球与A{x0}的交不为空集。（聚点一定是接触点，但接触点不一定是聚点。）稠

5、密集：称B在A中稠密，若A包含于B的闭包。可分：一个空间称为可分的，若这空间中存在一个可数的稠密子集。列紧集：称A为列紧集，若A中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列。如果X是列紧集，那么X一定是有界集。反之不一定。一致有界：即存在K>0,使得对于每一点t∈[a,b]及一切x∈A，

6、x(t)

7、≤K等度连续：对于任意的ε>0，存在δ>0,当

8、t1-t2

9、<δ时，

10、x(t1)-x(t2)

11、<ε(任意x∈A)完备的距离空间：称X是完备的距离空间，若X中的任意柯西列都收敛。完备空间的任一闭子空间的都是完备的。列紧空间是完备的距离空间。完备距离空间的性质：闭球套定理，压缩映射原理（bana

12、ch不动点定理）。