高一数学期末复习讲义(向量).doc

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1、高一数学期末复习讲义4平面向量1知识点1平面向量基本概念1、设四边形ABCD中,有=且

2、

3、=,则这个四边形是________.答案:等腰梯形知识点2 向量的线性表示2、平行四边形OADB的对角线交点为C,=,=,=a,=b,用a、b表示、、.解:=a-b,==a-b,=+=a+b.=a+b,=+=+==a+b.=-=a-b.知识点3 共线向量3、设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴

4、=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.∴、共线.又它们有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)解:∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a、b是两不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.练习1.已知点在直线MN上,且,若,则______.2.已知△ABC中,点D、E分别为边AC、AB上的点,且DA=2CD,EB=2AE,若=a,=b,则以a、b为基底表示=________.答案:b-a解析:由题知=-=-a-b,=+=+=b-a-b=b-a.

5、3.设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,AD=AB,BE=DC,若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2=________.答案:解析:=+=+=+(-)=-+=λ1+λ2,故λ1=-,λ2=,则λ1+λ2=.4.已知e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=2e1-5e2,=λe1-e2.若三点A、B、D共线,则λ=________.答案:8解析:∵A、B、D共线,∴与共线,∴存在实数μ,使=μ.∵=-=(λ-2)e1+4e2,∴3e1+2e2=μ(λ-2)e1+4μe2,∴∴高一数学期末复习讲义5平面向量2知识点1向量的

6、坐标运算1、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m、n;(3)求M、N的坐标及向量的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴解得(3)设O为坐标原点,∵=-=3c,∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),

7、∴M的坐标为(0,20).又=-=-2b,∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N的坐标为(9,2),∴=(9-0,2-20)=(9,-18).知识点2 向量平行与垂直2、已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求

8、a-b

9、的值.解:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2

10、.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),∴

11、a-b

12、==2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),∴

13、a-b

14、==2.综上,可知

15、a-b

16、=2或2.知识点3 向量的夹角与向量的模3、已知

17、a

18、=4,

19、b

20、=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求

21、a+b

22、;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4

23、a

24、2-4a·b-3

25、b

26、2=61.又

27、a

28、=4,

29、b

30、=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.

31、∴cosθ===-.又0≤θ≤π,∴θ=.(2)可先平方转化为向量的数量积.

32、a+b

33、2=(a+b)2=

34、a

35、2+2a·b+

36、b

37、2=42+2×(-6)+32=13,∴

38、a+b

39、=.(3)∵与的夹角θ=,∴∠ABC=π-=.又

40、

41、=

42、a

43、=4,

44、

45、=

46、b

47、=3,∴S△ABC=

48、

49、

50、

51、sin∠ABC=×4×3×=3.知识点4坐标法解题4、如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是.【答案】【解析】以A为坐标原点,AB所在直线为轴,AD所在直线为轴,建立平面直角坐标系,则,设,则,,,练习:1.若向量a=(2,3),b=(x,-9),且a∥b

52、,则实数x=________.答案:-62.已知向量a、b满足

53、a

54、=1,

55、b

56、=4,且a·b=2,则a与b的夹角为________.答

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