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《2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法教案 新人教A版选修2-2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【优化设计】2015-2016学年高中数学2.3数学归纳法教案新人教A版选修2-2教学建议1.教材分析数学归纳法是一种直接证明的方法,仅适用于与正整数有关的数学命题的证明.本节通过类比多米诺骨牌游戏,得出数学归纳法的两个步骤,然后通过两个例题介绍数学归纳法的应用.重点:数学归纳法的原理及应用.难点:数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.2.主要问题及教学建议(1)关于数学归纳法所证结论的正确性.建议教师就归纳推理的几种情形介绍一下.不完全归纳:只考察了部分对象,结论不一定正确.完全归纳(枚举法):考察了问题所涉及的所有对象,结论一定正确.
2、数学归纳法:通过有限个步骤的推理,证明了n取无限多个正整数时的情形,本质上相当于完全归纳,结论是正确的.(2)对于假设的使用.建议教师通过具体例子,说明证明过程中不用假设也能证出某些题目,但不是数学归纳法证明,也就不必再按数学归纳法的步骤进行.备选习题1.证明:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么(1+x)n>1+nx.证明:(1)当n=2时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x≠0,所以不等式成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即(1+x)k>1+kx.那么当n=k+1时,左边=(1+x)k+1=(1+x)k(
3、1+x),因为x>-1,所以(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)及数学归纳法可知所证不等式成立.2.用数学归纳法证明62n-1+1(n∈N*)能被7整除.证明:(1)当n=1时,62-1+1=7,能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,62k-1+1能被7整除.那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,∴当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7
4、整除.由(1)(2)知命题成立.3.试比较2n与n2(n≥5,n∈N*)的大小.解:当n=5时,25>52,即2n>n2.当n=6时,26>62,即2n>n2;……猜想:当n≥5,n∈N*时,2n>n2.下面用数学归纳法证明猜想成立:(1)当n=5时,猜想成立.(2)假设当n=k(k≥5,k∈N*)时猜想成立,即2k>k2,那么,当n=k+1时,2k+1=2×2k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即当n=k+1也成立.根据(1)和(2),可知当n≥5时,2n>n2对任何n∈N*都成立(n≥5).
