2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教a版选修2-2

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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学2.3数学归纳法练习新人教A版选修2-2一、选择题1．(2015·海南市文昌中学高二期中)用数学归纳法证明＋＋…＋>1(n∈N＋)，在验证n＝1时，左边的代数式为(　　)A.＋＋　　　　B.＋C.D．1[答案]　A[解析]　在＋＋…＋>1(n∈N＋)中，当n＝1时，3n＋1＝4，故n＝1时，等式左边的项为：＋＋，故选A.2．(2015·郑州市登封高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案]　B[解析

2、]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．(2015·承德市存瑞中学高二期中)用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为(　　)A．(2k)2B．(2k＋3)2C．(2k＋2)2D．(2k＋1)2[答案]　D[解析]　用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)的过程中，第二步，假设n＝k时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k

3、＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2，等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D.4．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即

4、应选D.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]　C[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n

5、＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案]　C[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．(2014～2015·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D．[答案]　B[解析]　n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1时，等

6、式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.二、填空题8．(2015·长春外国语学校高二期中)观察下列等式，照此规律，第n个等式为________________________．1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]　将原等式变形如下：1＝1＝122＋3＋4＝9＝323＋4＋5＋6＋7＝25

7、＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…(3n－2)＝(2n－1)2.9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________________．[答案]　1－＝[解析]　当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．三、解答题10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜