2015-2016高中数学 2.3数学归纳法学案 新人教a版选修2-2

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1、2．3　数学归纳法1．了解数学归纳法原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法．设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．2．用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0＝0或_n0＝1)时，命题{p(n)}正确；(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；(3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈

2、N*时，p(n)正确．想一想：(1)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法？(2)数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?(1)解析：不能．数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法．(2)解析：数学归纳法的第一步中n0的初始值应根据命题的具体情况来确定，不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°时，其初始值n0＝3.　　　　　　　　　　　　　　　　1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(C)A．1B．1＋q

3、C．1＋q＋q2D．1＋q＋q2＋q3解析：左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选C.2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(C)A．(2k＋1)＋(2k＋2)　B．(2k－1)＋(2k＋1)C．(2k＋2)＋(2k＋3)　D．(2k＋2)＋(2k＋4)解析：当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋

4、2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(B)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)．当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)．∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．　1．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得

5、n＝k＋2时命题也成立，则(B)A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(B)A．n为任何正整数都成立B．仅当n＝1，2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：经验证，n＝1，2，3时成立，n＝4，5，…不成立．故选B.3．用数学归纳法

6、证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(B)A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos3α＋cos5α解析：令n＝1，左式＝＋cosα.故选B.4．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．解析：观察不等式中分母的变化即可得结论．答案：＋＋…＋＋＞－5．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(

7、n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(A)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(D)A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)共有n2－n＋1项，

8、当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.7．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为1＋2＋22＋23＋24，从k→k＋1时需增添的项是25k＋25k＋