2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件:2.3函数的值域(第1课时)

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1、第讲3函数的值域第二章函数1考点搜索●值域的概念和常见函数的值域●函数的最值●求函数的值域的常用方法●求最值的方法的综合应用高2高考猜想高考对值域的考查主要渗透在求变量的取值范围中,常与反函数、方程、不等式、最值问题以及应用问题结合;在基本方法中,配方、换元、不等式、数形结合涉及较多,常表现为解题过程的中间环节.考生应重视通过建立函数求值域解决变量的取值范围的问题.3一、基本函数的值域1.一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为①.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为②;当a<0时,值域为③.R43.反比例函数y=kx(

2、x≠0,k≠0)的值域为④.4.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的值域为⑤.5.对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的值域为⑥.6.正、余弦函数的值域为⑦,正、余切函数的值域为⑧.{y

3、y≠0,y∈R}R+R[-1,1]R5二、求函数值域的基本方法1.配方法——常用于可化为二次函数的问题.2.逆求法——常用于已知定义域求值域(如分式型且分子、分母为一次函数的函数).63.判别式法——可转化为关于一个变量的一元二次方程,利用方程有实数解的必要条件,建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方法时注意对y的端点取值是否达到进行验算.4.不等式

4、法——几个变量的和或积的形式.5.导数法——利用导数工具,结合函数的单调性,讨论其值域.71.设函数f(x)=1-x2(x≤1)x2+x-2(x>1),则的值为()f(x)=1-x2(x≤1)x2+x-2(x>1)故选A.f(2)=482.函数的值域为()A.(-∞,1)B.C.D.故选C.C93.函数y=f(x)的值域是[-π,10],则函数y=f(x-10)+π的值域是()A.[-π,10]B.[0,π+10]C.[-π-10,0]D.[-10,π]因为y=f(x)所以函数y=f(x-10)+π的值域是[0,π+10],故选B.向右平移10个

5、单位长度向上平移π个单位长度B10题型一:用配方法与换元法求函数的值域1.求下列函数的值域:(1)(2)(3)11(1)(配方法)设μ=-x2-6x-5(μ≥0),则原函数可化为又因为μ=-x2-6x-5=-(x+3)2+4≤4,所以0≤μ≤4,故μ∈[0,2],所以的值域为[0,2].12(2)(代数换元法)设则x=1-t2,所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),所以y≤5,所以原函数的值域为(-∞,5].13(3)(三角换元法)因为1-x2≥0,所以-1≤x≤1,故可设x=cosα,α∈[0,π],则y=cosα+si

6、nα=sin(α+).因为α∈[0,π],所以所以所以所以原函数的值域为14点评:配方法求函数的值域时,一是注意找到相应的二次式,二是注意自变量的取值范围;运用换元法求函数的值域时,注意新变元的取值范围.15设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A,值域为B,则A∩B=.由3-2x-x2>0,得-3<x<1,所以A=(-3,1).因为0<3-2x-x2=4-(x+1)2≤4,所以f(x)≤2,所以B=(-∞,2],故A∩B=(-3,1).16题型二:用逆求法与判别式法求函数的值域2.求下列函数的值域:(1)(2)17(1)解法1:(逆求

7、法)由解出x,得因为2y+1≠0,所以函数的值域为{y

8、y≠-12,且y∈R}.解法2:(分离常数法)因为又所以y≠-12.即函数的值域为18(2)(判别式法)由得y·x2-3x+4y=0,当y=0时,x=0,当y≠0时,由Δ≥0得因为函数的定义域为R,所以函数的值域为19点评:逆求法又称为反函数法,如形如f(x)=ax+bcx+d的函数,可以用逆求法来求解.对于定义域为R的函数式,若能变形为关于自变量x的二次方程形式,利用此方程有解,得到关于y的判别式的关系式,由此得出值域;若定义域不为R,此时还需根据根的范围来确定值域.20函数的值域为.由,得因

9、为x≥0,所以解得所以函数的值域为21题型三:利用函数的单调性求函数的值域3.(原创)已知函数(1)若函数的定义域是[-2,-1],求函数的值域;(2)若函数的定义域是,求函数的值域.22由得(1)当x∈[-2,-1]时,得所以f(x)在区间[-2,-1]是减函数,所以当x=-2时,[f(x)]max=f(-2)=3,当x=-1时,[f(x)]min=f(-1)=-1,所以函数的值域是[-1,3].23(2)由可得x=1.所以当时,f′(x)<0,所以f(x)在区间上是减函数,同理可得f(x)在区间(1,2)上是增函数.由知,当定义域为函数的值域为[

10、3,5].24点评:利用函数的单调性求函数的值域,其策略是:首先判断函数的单调性或函数的单调区间,然后根据单

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