2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点33 计数原理(原卷word版）.doc

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1、2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点33计数原理【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，x∈N*，n≥2.(1)设n＝11，求

2、a6

3、＋

4、a7

5、＋

6、a8

7、＋

8、a9

9、＋

10、a10

11、＋

12、a11

13、的值；(2)设bk＝ak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求的值．2、(2018南京、盐城一模）已知n∈N*，nf(n)＝CC＋2CC＋…＋rCC＋…＋nCC.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达

14、式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想．3、(2018苏锡常镇调研（二））已知函数f(x)＝(x＋)2n＋1(n∈N*，x∈R)．(1)当n＝2时，若f(2)＋f(－2)＝A，求实数A的值；(2)若f(2)＝m＋α(m∈N*，0<α<1)，求证：α(m＋α)＝1【问题探究，开拓思维】题型一二项式定理的应用知识点拨;对于组合数有关的和式的证明，通常可以从以下两个方面来加以思考：一是利用组合数的有关的恒等式来进行处理，将组合数前面的系数化成相同的代数式后再利用组合数和的性质来加以处理；二是通过构造恒等式，利用对恒等式两种不同的计算方法，即“算两次”的方法来证明相

15、关的结论．例1、(2019苏州期初调研）设f(n)＝(a＋b)n(n≥2，n∈N*)，若在f(n)的展开式中，存在连续的三项的二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P.(1)求证：f(7)具有性质P；(2)若存在n≤2018，使得f(n)具有性质P，求n的最大值．【变式1】(2019南京、盐城二模）平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法总数为T.(1)若n＝3，求T的最小值；(2)若n≥4，求证：T≥2C.【变式2】(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调

16、）已知(1＋x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.记Tn＝(2k＋1)an－k.(1)求T2的值；(2)化简Tn的表达式，并证明：对任意的n∈N*，Tn都能被4n＋2整除．【变式3】(2017南京、盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*.(1)求值：①kC－nC；②k2C－n(n－1)C－nC(k≥2)；(2)化简：12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C.【变式4】（2016苏锡常镇一调）如图，在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所

17、示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列．思路分析(1)第n行的n＋1个数依次为C，C，…，C，…，C.假设C∶C∶C＝3∶4∶5，r＝0,1,2，…，n－2.若能解出r与n，则存在；若不能解出r与n，则不存在．(2)由2C＝C＋C，得r，n的一个方程；由2C＝C＋C，得r，n的另一个方程．只要证明这两个方程组成的方程组无解即可．题型二计数原理与二项式定理的综合运用知识点拨：1、求

18、解与计数有关的问题，一方面要注意弄清问题的本质，如本题中的m(1)，m(3)的含义，并判断它是一个排列问题还是一个组合问题；二是在研究组合数的有关问题时，经常需要应用组合数的一些性质，如C＝C(n>m，m，n∈N*)，C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1等等．2.根据条件将二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn中的a，b进行特殊化就会得到很多有用的有关组合数的相关和的结果，这是研究有关组合数的和的问题的常用方法．对于计数问题的处理，要注意以下三个方面：(1)弄清问题的本质是关键，此类问题有一

19、个特点，就是用比较繁琐的数学语言来加以表述，因此，通常需要将繁琐的数学语言转化为易于理解的自然语言来加以表述；(2)解决此类问题可以从简单的情形入手来寻找一般情形的处理方法；(3)对于与组合数、排列数有关的求和问题，常用的方法有：①利用排列数、组合数的相关性质来进行化简，从而达到求和的目的；②利用二项式定理以及求导的方法来得到相关的等式，通过等式进行特殊化来进行处理；③利用先猜后证的方法，通过观察、归纳法来得到相关的结论，并应用数学归纳法来加以证明例2、(2018苏州暑假测试）设集合M＝{－1，0，1}，集合An＝{(x1，x2，…，xn)

20、xi∈M，i＝1

21、，2，…，n}，集合An中满足条件“1≤

22、x1

23、＋

24、