例谈中考图形旋转的命题趋势.doc

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例谈中考图形旋转的命题趋势湖北省襄樊市第七中学（441021）曾庆丰“图形的旋转”是新课程中的新增内容，在各省市中考中占有相当的比重．随着课程改革的进一步深入，近年来，各省市中考图形旋转试题的命制又表现出以下新趋势．一、由单一趋向综合新课程考试之初，中考图形旋转试题往往是以考查旋转的基本性质和判定为主的基本解答题．随着新课程考试的深入，以旋转为载体并融全等、四边形、相似、三角函数、圆等初中主体知识为一体的动态几何题，正逐渐成为近年来中考几何压轴题的常见形式．例1（2008沈阳）已知：如图1所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：①；②是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图2中延长交线段于点．求证：．图1图2解析：（1）由，，，得△ABE是由△ACE绕点A逆时针旋转∠BAC得到．所以△ABE≌△ACD，故BE=CD；因为点M、N分别是对应边BE、CD的中点，所以点M、N是一对对应点．由旋转的性质，得AM=AN，即△AMN是等腰三角形．（2）同理（1），结论仍然成立；（3）若设旋转角，则．而AB=AC，AD=AE，AM=AN，所以∠1=∠2=∠3=．因为∠PDB=∠2，所以∠1=∠PDB=∠3．所以△PBD与△AMN是两个底角相等的等腰三角形，故∽.【评注】题（1）的问①源于课本一道习题，命题者将原来的等边三角形改为等腰三角形，但问题的本质却没变；问②则是问①的自然延伸，主要考查旋转的判定及性质；题（2）将旋转与相似巧妙地融为一体，体现了在知识交汇处命题的指导思想．由于图2比较复杂，考生分析起来有一定的难度，求解（识图）的关键是抓住旋转前后图形的对应关系，这其中包括对应点、对应边、对应三角形及相互之间的关系．2由形趋向数形结合坐标几何问题融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是考查学生数形结合能力和综合能力的很好载体．将旋转与坐标系相结合是近年来中考坐标几何问题的一个新亮点．例2（2008沈阳）如图3所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且， ，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；图3（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．简析：（1）因为点A、E是一对对应点，连结AO，则∠AOE=600．而，所以∠1=300，故∠BOE=900，即点在轴上；（2）因为点C、D是一对对应点，所以∠COD=600．过点D作DH⊥x轴于点H，则∠DOH=300，所以DH=，，故H（，）．由OE=OA=，得E（0，2）．又A（，1），由A、E、D三点的坐标可求抛物线的解析式为：；（3），，；，，．（过程略）【评注】本题的（1）、（2）问看似简单，但要表述清楚并不容易，需要考生对旋转的性质及分析旋转问题的方法（抓对应）有一个清醒的认识．把此题与例1同时放在同一份中考试卷中，虽说有“知识考查重复”之嫌，但命题者的“良苦用心”可见一斑！“突出《课程标准》新增内容的考查，支持课改，引导师生加强新增内容的研究”．3由明显趋向隐蔽试题表面并看不出旋转信息，却隐含了图形旋转的必备条件，需要考生根据题意去挖掘、寻找旋转图形，主要考查学生灵活应用旋转知识解决问题的意识和能力．例3（2008河北）如图4，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图4中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图5的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图6的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．图4图5图3图4 简析：（1），；图6（2）结论仍然成立．由△EFP是等腰直角三角形，得∠QPC=450，所以∠CQP=∠QPC=450，故CP=CQ．而CA=CB，∠ACP=∠BCQ=900，所以△BQC是由△APC绕点C逆时针旋转900得到，所以△BQC≌△APC，故BQ=AP．延长BQ交AP于点D，由∠PAC=∠QBC和∠BQC=∠AQD，得∠ADQ=∠ACB=900，所以BQ⊥AP；（3）同理（2），得BQ=AP，BQ⊥AP．【评注】此题的中考参考答案是通过三角形全等来解决的，但过程较为复杂；本题貌似平移，实则蕴含了图形旋转的两个基本条件：（1）CP=CQ，CA=CB；（2）∠QCP=∠BCA，根据这两个条件，通过构造旋转图形来解，过程简洁明快．旋转信息由“显”趋“隐”，注重旋转的工具作用，将是中考旋转试题命制的一个新趋向，应引起我们的重视．4由结果趋向过程试题通过旋转来表述解题信息，但题设却不具备旋转的条件，需要考生根据图形的特征去构造旋转图形，旨在考查学生对图形旋转的本质认识．图8图7例4（2007广州）已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图7，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如图7中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图8，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．简析：（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得；由+∠，=，得，所以BM⊥DM；（2）结论仍然成立．分别延长CB、ED至点C/、E/，使C/B=CB，DE/=DE，并连结AC/、EC/、AE/、CE/，则易证△EAE/和△CAC/是等腰直角三角形．由AC=AC/，AE/=AE,∠E/AE=∠CAC/=900，得△AEC/是由△AE/C绕点A逆时针旋转900得到．所以△AEC/≌△AE/C，故C/E=CE/．若延长C/E、CE/交于点F，由∠1=∠2，∠3=∠4，得∠F=∠CAC/=900．而线段BM、DM分别是△CEC/和△ECE/的中位线，所以,，故且BM⊥DM．【评注】此题虽说有一定的难度，但不失为一道揭示旋转本质的好题！图形的旋转必须具备两个条件：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心连线所成的角相等．而本题的题设却不具备以上两个条件，需要考生根据等腰直角三角形的性质去构造——这正是此题的关键所在．作为中考压轴题，此题具有较高的区分度和选拔功能．5由知识趋向方法将“旋转”纳入新课程，不只是因为知识本身重要，更重要的是改变了研究问题的视角与方法．通过图形的旋转来呈现问题，并对旋转进行拓展和延伸 ，以达到揭示方法、考查能力的“研究性”试题已渐露锋芒．例5（2007武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F．（1）如图9，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_____；如图10，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_______；（2）如图11，若∠BAC＝α，则∠AFB＝______；（3）将图11中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图12或图13．在图12中，∠AFB与∠α的数量关系是_______；在图13中，∠AFB与∠α的数量关系是_________．请你任选其中一个结论证明．简析：（1）如图9，若∠BAC＝60°，则△ABC与△DCE是等边三角形，所以CA=CB，CE=CD，∠DCE=∠BCA=600，由旋转的定义，得△BCD是由△ACE绕点C逆时针旋转600得到．所以△BCD≌△ACE．由∠1=∠2，∠3=∠4，得∠DFE=∠DCE=600，所以∠AFB=∠DFE=600；图9图10如图10，分别延长CE、CA至点D/、B/，使CD/=CD，CB/=CB，连结B/D/．由题意，得△CDE与△BAC是等腰直角三角形，所以∠DCD/=∠B/CB=450．所以△BCD是由△B/CD/绕点C逆时针旋转450得到．同理“图9”，得∠B/GB=∠DCE=450．由△CDE∽△BCA，得，即，所以∥，所以∠AFB＝∠B/GB＝450．（2）如图11，不妨设CE>CD．分别延长CD、CB至点E/、A/，使CE/=CE，CA/=CA，连结A/E/．由∠BAC＝α，易得∠DCE=∠ACB=．同理“图9”，得∠AFB＝∠AGA/=∠DCE=．图11图12图13（3）如图12，同理（2），得∠AFB=；如图13，同理（2），得∠E/GA=．所以∠AFB=∠AGA/=1800-∠E/GA=．【评注】图形的旋转是两个全等图形之间的一种变换，而全等则是相似的特例（相似比为1），命题者抓住上述关系，从全等三角形出发，通过改变三角形角的度数，将旋转由“全等图形”拓展到“相似图形”，旨在考查学生应用旋转方法研究问题的意识和能力．此题对学生理解“旋转”的深度和创新能力都提出了较高的要求．由此题的解答，我们还可以将旋转的性质作如下推广：两个相似图形，若其中一个图形绕某点旋转能够与另一个图形的一个对应角重合，则：①对应点与旋转中心的连线的比等于相似比；②对应点与旋转中心连线所成的角相等且等于旋转角．