妙用圆锥曲线的定义.doc

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1、妙用圆锥曲线的定义胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银730913）圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,灵活应用定义解题，许多时候能化繁为简.是提高综合运用知识能力的有效途径.一、求轨迹例1 .已知动点满足，则点的轨迹是.解：由变形,得.所以点M的轨迹是以（0，2）为焦点为应准线的抛物线.点评：启发从等式两端的式子入手，考虑通过适当的变形，转化为学生们熟知的两个距离公式.练习：已知动点满足，则点M的轨迹是..答案：过（0，2）和垂直的直线（几何意义与代数化简比较）.二、求离心率例2.双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且

2、,则双曲线离心率的取值范围为（）A、B、C、D、解：由双曲线的定义，，又，联立解得，，再由可得,，即,所以.故选B.点评：在求解有关圆锥曲线的离心率问题时,若能根据题目的实际条件,考虑用圆锥曲线的定义来求解,就能起到出奇制胜的效果.练习：设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（　　）3A、B、C、D、答案：.三、求最值例3.已知椭圆,是左右焦点，是椭圆上任一点，椭圆内有一点，求的最大值及最小值.解：延长交椭圆于，由椭圆的定义，,当且仅当点与点重合时，取得等号.延长交椭圆于，

3、由椭圆的定义，,当且仅当点与点重合时，取得等号.所以，,.点评：如何根据已有的经验并结合数学模型，自觉的去寻求解决方案，所有这些方法的背后都有一个共同的核心“定义”，借助定义，快捷准确.练习：双曲线右支上任一点，到右焦点的距离与右域内一点的距离之和为,则的最小值为.答案：由双曲线的定义，，当且仅当三点共线时取得等号，所以.四、求轨迹例4.设点Q是圆C：上动点,点A（1，0）是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程.3解：设点的坐标为，由的垂直平分线交于，得.又,所以.依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以、为焦

4、点的椭圆，且，.于是，，.故所求轨迹方程为.点评：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．先根据平面几何知识，列出条件，充分利用动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义是关键．练习：已知两圆，，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程．　答案：设动圆圆心,半径为，由题意动圆内切于圆，得，圆外切于圆，得，所以,于是动圆圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为.3