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1、关于求二元函数最值问题引言我们知道，一元函数的极值是讨论函数在某一点的局部性的概念，而二元函数的最值是研究函数在某一区域内的最大值与最小值。在这里，我们可以将二元函数的最值问题转化为我们熟知的一元函数的最值。同样，我们需要考察函数在所有稳定点、无偏导点以及属于区域的界点上的函数值。例一：求函数F(x,y)=x+2x-2xy+y的极值和在D=×上的最大值与最小值。解：F(x,y)=3x-4x-2y=0得F的稳定点P(0,0)，P(-,-)F(x,y)=-2x+2y=0而F(x,y)=6x+4,F(x,y)=-2,F(x,y)=2(F(0,0)F(0,0)-F(0,0))=
2、4,F(-,-)F(-,-)-F(-,-)=-4则F(x,y)在P(0,0)处取得极小值，F(x,y)在P(-,-)处不取得极值。且F(0,0)=0现在讨论边界①x=-2,F(2,y)=y+4y,yF(-2,y)=2y+4>0,F(-2,y)在上单调递增。F(-2,-2)=-4,F(-2,2)=12②x=2,F(2,y)=y-4y+16,yF(2,y)=2y-4<0,F(2,y)在上单调递减F(2,-2)=28,F(2,2)=12③y=-2,F(x,-2)=x+2x+4x+4,xF(x,-2)=3x+4x+4=3(x+)+>0,F(x,-2)在上单调递增F(-2，-2)
3、=-4，F(2，-2)=28④y=2,F(x,2)=x+2x-4x+4,xF(x,2)=3x+4x-4,的极值点（-2,2）（,2）F(-2,2)=12，F(2,2)=12，F(,2)=综上所述：最大值为28，在（2，-2）处取得，最小值为-4，在（-2，-2）取得。总结：⑴,求偏导，得稳定点，对函数求二阶偏导。⑵求出稳定点的极值。⑶定一求二，求出区域界点上的函数值。⑷求出最大值与最小值。例二：求Z=x-y,在范围内的最大值与最小值。解:Z=2x=0得稳定点（0，0）Z=2y=0由于Z=-2,Z=-2,Z=0(ZZ-Z)(0,0)=-4<0,即（0，0）不是极值点。在边
4、界上，Z=2,Z=4x,y,得稳定点（0，-2）（0，2）Z=4-2y,Z=4y,x,得稳定点（-2,0）（2,0）Z(0,2)=Z(0，-2)=-4，Z(-2,0)=Z(2,0)=4综上所述：最大值为4，在（-2,0）（2,0）处取得。最小值为-4，在（0，-2）（0，2）处取得。例三，Z=的最大值与最小值。解;定义域x,yZ===0Z===0得稳定点，，则Z在定义域上连续。则最大值为Z=，最小值Z=
