2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.doc

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1、2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及参考答案（5月5日8:00至10:00）一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程的根大于，且小于，则实数的范围是．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为．3．设实数，满足，则的最大值与最小值之差是．4．若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是．5．若三角形的三边，，成等差数列，则的取值范围是．6．若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是．7．已知，则．58．设，，且满足，则的最大值为．9．已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，满足到面、、的距离成等差数列，则到面距离的最大值是．10．将小

2、王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设为实数，，椭圆与椭圆交于点和，的左顶点为，的右顶点为（如图），若四边形是正方形，求实数．512．如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、．证明：四边形是梯形．13．设实数，满足．证明：．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．52013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（

3、5月5日8:00至10:00）一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程的根大于，且小于，则实数的范围是(-1,3)．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为．3．设实数，满足，则的最大值与最小值之差是。（似乎出错）4．若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是3．5．若三角形的三边，，成等差数列，则的取值范围是．6．若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是0．7．已知，则364．8．设，，且满足，则的最大值为．9．已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，满足到面、、的距离成等差数列，则到面距离的最大值是．（未学）10．将小王和小孙现在的

4、年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是12．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设为实数，，椭圆与椭圆交于点5和，的左顶点为，的右顶点为（如图），若四边形是正方形，求实数．解：BD=6-k=AC又AC=得k=12．如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、．证明：四边形是梯形．连A’O,B’O,C’O,D’O易证A’,O,C’;B’,O,D’共线（角度），由比例线段证毕。13．设实数，满足．证明：．解：记f(x)=则f

5、’(x)=令f’(x)=0，则x=所以x<0.2196时f’(x)>0,x>0.2196时f’(x)<0所以f(a)≥min{f(0),f(1)}=1f(b)≤f(0.5)=1所以f(b)≤f(a)，证毕。14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．根据抽屉原理，必定存在34个点同色。该34个点连成34*33/2=561条线段。考虑这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴。正100边形的对称轴有200条，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合。所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，于是构成等腰梯形四个顶点且同色

6、，证毕。5