立体几何(平行垂直的证明及角)专题辅导.doc

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1、立体几何专题辅导(平行与垂直及角)空间中平行与垂直关系的证明及线面角、二面角的方法总结：（一）线线平行的证明方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.三角形的中位线4.平行四边形对边平行5.一个平面与另外两个平行平面相交，那么两条交线也平行6.线面平行的性质7.面面平行的性质6.向量法：两直线的方向向量共线（二）线面平行的证明方法：1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行2.面面平行的性质：如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平

2、行3.向量法：直线的方向向量与平面的法向量垂直（三）面面平行的证明方法：1.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。2.面面平行的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。3.面面平行的传递性4.垂直于同一条直线的两个平面平行5.向量法（四）线线垂直的证明方法1、等腰三角形底边的中线2.菱形对角线互相垂直3.勾股定理4.直径所对的圆周角为直角5.三垂线定理及其逆定理6.线面垂直的性质7.向量法（五）线面垂直的证明方法1.线面垂直的判定定理2.面面垂直

3、的性质3.向量法（六）面面垂直的证明方法1.面面垂直的判定定理2.证明二面角为直二面角3.向量法（七）空间中的角1.异面直线所成的角范围是解法：①定义法②向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝

4、cos〈m1，m2〉

5、.2.直线与平面所成的角：斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．范围是；解法：①定义法②向量法：设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝

6、cos〈m，n〉

7、.73.二面角的平

8、面角如图在二面角αlβ的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．范围是[0，π]．解法：①定义法②三垂线法③射影面积法④向量法：(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．典例分析：1、如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=

9、4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.2、正△ABC的边长为2,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点(如图(1))．现将△ABC沿CD翻成直二面角A－DC－B(如图(2))．在图(2)中(1)求证AB∥平面DEF；(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论；(3)求二面角E－DF－C的余弦值．73、如图，已知△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，且DE∥BC，BC⊥CD，点G

10、为△ABC的重心，N为AB的中点，AG⊥平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点．(1)求证：GM∥平面DFN；(2)若二面角M－BC－D的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值．4、75、如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．6、如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.（1）证明平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.2查看原图图片加载中......7、.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四

11、边形，AB＝AC＝2，AD＝2，PB＝，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面PAC；(2)若∠PBA＝45°，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．78、如图，在四棱锥中，，，，，点在平面内的射影恰为的中点，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．9、.如图，四棱锥中，，底面是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且.（1）若MN∥平面PAD；（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直

12、线AD与直线CN所成角的余弦值.10、.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，试判断棱上是否存在与点，不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦