江苏省南通中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题-理.doc

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1、江苏省南通中学2015-2016学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．若（是虚数单位），则▲．【答案】52．已知复数满足（是虚数单位），则=▲．【答案】2﹣i3．用反证法证明命题“若能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是▲．【答案】都不能被2整除．4．用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为▲．【答案】55．已知平面的法向量(1,2,-2)，平面的法向量(-2,-4,k)，若，则k值

2、是▲．【答案】46．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是▲．(填写序号)【答案】②7．若空间直角坐标系中点在同一条直线上，则▲．【答案】-108.已知＝(2，－1,3)，＝(－1,4，－2)，＝(7,5，λ)，若、、三向量共面，则实数λ＝▲．【答案】9．已知，则的最小值▲．【答案】10.利用数学归纳法证明不等式的过程中，用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为▲．【答案】11．集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；9；则=▲．（写出计算结果）【答案】546【解析】由归纳得出，代入计算可得12．已知复数满足等式（是虚

3、数单位），则的最小值是▲．【答案】解：∵，∴复数的对应点的轨迹是．∴的最小值即为点到直线的距离13．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第7个数是▲．【答案】2010aOCC’bxyABy=x214.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数图像上任意两点，，线段AB必在弧线AB上方．由图象中的点C在点C′（点C′在函数y=x2图像上）正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比

4、上述不等式可以得到的不等式是(正确的)▲．【答案】.二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．915.（本小题满分14分）已知是复数，均为实数（是虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，(1)求复数(2)求实数的取值范围．解:（1）设z＝x＋yi(x、y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.------------------------7分（2）∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，已知解得2＜a＜6，∴

5、实数a的取值范围是(2,6)．-------------------------14分16、（本小题满分14分）阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：…①，…②，由①②得…③，令，，有，，代入③得．（1）利用上述结论，试求的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：.【解析】（1）；-------------------------7分（2）因为……①，……②，由①②得……③，令，，有，，代入③得.-------------------------14分17．（本小题满分14分）如图，在正四棱锥中，，点、9分别在线段、上，．（1）若，求证：⊥；（2）若二面角的大

6、小为，求线段的长．(1)证明：连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以＝，＝(－1，－1，0)．因为·＝0，所以MN⊥AD．-------------------------7分(2)解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，由得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)．因为

7、平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，从而M，N，所以MN＝＝．-------------------------14分918.（本小题满分16分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上.(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置.解　方法一　(坐标法)以C为坐标原点，分别以CA，