波利亚的几何图示法在解题中的应用.pdf

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1、24数学通讯一一2015年第6期(下半月)·解题方法·波利亚的几何图示法在解题中的应用叶珂胡典顺(华中师范大学数学与统计学学院。-'130079)任何学问都包括知识和能力两部分．毫无疑问，左侧)。所求目标在思维中的位置则用一个孤点象征在中学数学教学中，教师应该在关注学生知识储量性地表示，记作V(图2右侧)．的同时锻炼他们一定的解决问题的能力．什么是解题?解题有法可循吗?数学家波利亚认为：发现解法，就是在原先是隔开的事物或想法(已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论)之间去D找出联系．波利亚在解一道初等立体几何问题

2、时，因一时末得要领卡住，待问题彻底解决后，他对整个解题过图2l璺I3程和涉及的思想方法进行了深刻考虑，最终总结出如果什么也没有，就求不出未知量．那么，你有的(未知量)是什么?我们自然地把注意力转向那了解题过程的几何图示法，这是他关于解题研究的些长度或位置已知的线段AB，BD，CD和点M上，第一个发现．并用粗线表示(图3左侧)．同时，在图3右侧新增四几何图示法是什么?怎样运用?下面通过一道个点，分别记作AB，BD，CD和M来代表四个已知高中几何题来分析和认识．量在变化了的思维中的位置．它们与V之间有一片1．例题剖析空白，像一道

3、鸿沟，象征着尚未解决的问题．原问题例(2014年福建高考题)如图l所示，三棱锥就转化为将未知量V与已知量AB，BD，CD和MBCD中，AB上平面BCD，CD_LBD．建立联系，即在这两类量间的鸿沟上架桥．(i)求证：CD上平面ABD；1．2制定计划(II)若AB—BD=CD—l，M为AD中点，求解题是从把未知量(目标)和已知量赋予几何形三棱锥A-MBC的体积．象开始，第一阶段的成果已经在图2、图3中描绘出来．从这里继续前进，下一步该做什么呢?如果你不能解所提出的问题，那就去找一个合适的有关联的问题．合适的有关联的问题是什么?

4、D不用去很远的地方找，考虑当前情形下未知量是什么?三棱锥A-MBC的体积．继续问，这是一个怎样的三棱锥?它是大(整体)三棱锥A-BCD的一部分．是哪一部分?这个三棱锥是用平面BCM截去图l注：我们只考虑问题(I)．与大三棱锥A—BCD同底的一个小三棱锥M-BCD1．1弄清问题后剩下的部分．显然，如果知道了这两个三棱锥的体解题的第一步是先把注意力集中到目标上．你积就能求出三棱锥A-MBC的体积．于是，最初的问要求的(未知量)是什么?很显然。三棱锥A-MBC题⋯一求，就转化成两个关联的辅助问题⋯⋯求的体积，在图中将所求体积的图形

5、用粗线表示(图2另外两个三棱锥的体积．为了用图式表达这一转变，·解题方法·数学通讯一2015年第6期(下半月)25我们在未知量和已知量中间的那片空白上引入两个新点，记为V．大和用斜线将大和{’分别与V连接起来，表示这三个量之间的关系：从Vx和、／，小。。出发能得到，即的解法是建立在、，r大和小解法的基础上．用数学公式表达即：图6图7V—V一V小①长．怎样才能求出这一类未知量?几何中常见的是图4右侧，两个辅助量(中间量)、，，大和小与已从一个三角形——特别地，直角三角形或相似三角知量之间还隔着一道鸿沟．虽然代替的仍是未知形求线

6、段的长．目前，图中没有以h为边的三角形，量，但它们与已知量有一定的联系，这两个三棱锥的又点M是线段AD的中点，这样一个三角形应当与底为同一个直角边为1的等腰直角三角形．最初的AABD在同一平面上且有一边在线段AD上．图7鸿沟开始变窄了．左侧用粗线显示的△ABD和△MND就是满足条件的一对相似三角形．因此，h可通过比例式表示：hA一B一AD：2④图7右侧出现的两条新的斜线就表示了h可以与AB，M联系起来．我们已经在最后唯一的鸿沟上1璺I4图5架了桥．到此，借助辅助量、，大，小和h，我们在未知现在着手去求未知量、，大和未知量小是

7、量和已知量AB，BD，CD，M之间建立了一张不什么?一个三棱锥的体积．怎样才能求出这一类未中断的关系网．知量?如果有了三棱锥的底面积和高，三棱锥的体1．3实现计划积就能计算出来．事实上，小三棱锥的高不是已知不能太得意，问题还未彻底解出．不过，可以预的，但不妨碍我们先把它考虑进来，设为+h，则见，沿着图7右侧关系网中的线索，从已知量按部就1V小一÷×BD×CDXh②班向上就能求出所有未知量．现在，从第二部分结尾U开始，先处理最后引入的辅助量h．由等式④可得图5左侧，把小三棱锥BCD用粗线显示，并1强调了它的高h．在这一阶段，图

8、5右侧已知量上方h一÷AB⑤出现一个新点h，用斜线分别把小与BD，CD，h连再把h的表达式代入等式②，得接起来，表示由BD，CD和h能得到、，，J、．虽然仍有1V小=×BD×CD×AB⑥两个未知量(图5右侧中尚悬在半空的两个点)要去^求，但我们又向前跨了一步．最后，将等式③和⑥代人等式①得