案例式中心极限定理教学研究.pdf

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1、第3l卷第2期大学数学Vo1．31。№．22015年4月COLLEGEMATHEMATlCSApr．2015案例式中心极限定理教学研究陈学慧，赵鲁涛，张志刚(北京科技大学数理学院，北京100083)[摘要]以案例教学法作为中心极限定理教学的主要手段，选取贴近实际生活的案例——合理规划用电问题和竞争问题，作为教学切入点，激发学生学习兴趣，引导学生从实际情景中发现问题解决问题．课堂实践表明，案例式教学加深了学生对中心极限定理的理解和应用，开阔了学生视野，并对促进课堂教学，课程建设，师生能力提高都有重要意义．[关键词]中心极限定理；竞争问题；正

2、态分布；案例式教学[中图分类号]O21[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2015)02—0114—051引言概率论与数理统计是研究探索客观世界随机现象规律性的一门数学学科，它以随机现象为研究对象，是现代数学的重要分支，在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等诸多领域都起着非常重要的作用口]．作为概率论与数理统计课程中一个非常重要的定理，中心极限定理在概率论与数理统计的知识体系中起着承上启下的作用，数理统计中大多统计方法基本以中心极限定理为理论基础．利用中心极限定理，自然界与生产中许多纷乱复

3、杂的随机变量序列和的分布可以利用正态分布近似，而正态分布有着许多重要完美的结论，从而可以获得普遍适用的统计分析方法和结论．中心极限定理有着广泛的实际应用背景，在数理统计、管理决策、近似计算以及保险业等诸多领域中有着重要的应用价值．中心极限定理是概率论与数理统计学科教学中的一个难点，学生难以短时间内理解，为了使学生掌握定理并能很好的运用定理解决问题，不少教师在其教学方法上进行了探讨．案例式教学是教学改革的有效方式_2]，它不同于传统的教学方法，是一种以案例为基础的教学，教师在教学中扮演着设计者和激励者的角色，引导激发学生积极参与分析问题和解

4、决问题，加深学生对中心极限定理的理解和应用．本文将重点研究如何选取贴近现实生活的实例，并按照“案例导入、提出问题、分析求解和思考拓展”的顺序，由易而难、逐渐深入的对相关模型和应用进行讲授分析．2案例导入案例1(住宅小区用电规划问题)城市设计院对某住宅小区设计时估算用电负荷，设该小区有300户居民，晚5：30—7：30每户居民使用电器总功率X～U(1，3)(单位：kW)，则该小区用电负荷设计至少多大才能以0．99的概率保证居民正常用电?引导学生分析设用电负荷设计为hkW，记y为该小区总电器功率(单位：kw)，则300Y一∑x，(1)FI[收

5、稿日期]2015—02—15[基金项目]北京高等学校青年英才计划项目(YETPO386)第2期陈学慧，等：案例式中心极限定理教学研究115注意到X，X：，⋯，X相互独立，即由P{y≤}≥0．99，求h．于是，需要知道300个独立的随机变量和的分布，那么这大量随机变量和的分布该如何计算呢?案例2(竞争问题)假设北京与广州之间有两个不同航空公司的航班，两个航班的机型、出发到达时间及价格都相同．现假定有500位乘客选乘哪一航班是相互独立且是等可能的，且飞机的成本入座率是759／6，问飞机设置多少座位可使航班亏损的概率控制在0．057引导学生分析

6、记x为500人中选乘某航班的人数，设飞机设有s个座位．由题意，由P{X<0．75·s)：0．05，求S，注意到x服从二项分布B(500，0．5)，但直接求5计算非常复杂，无法求出．若将X看成500个两点分布的和，那么大量随机变量和的分布的极限分布会是什么分布呢?案例3(观察实验)(i)7"／个独立同均匀分布的随机变量的和的分布》、。一’。图1独立同均匀分布的随机变量的和的分布图(ii)7"／个独立同泊松分布的随机变量的和的分布蓬IIII．二x～Jr(图2独立同泊松分布的随机变量的和的分布图引导学生观察两组分布图，直观地看出独立随机变量和的

7、分布的趋向——正态分布．3提出中心极限定理中心极限定理研究的是在什么条件下，独立随机变量和的极限分布是正态分布．为使学生真正理解中心极限定理的内涵，解释以下四个问题：(i)为什么中心极限定理研究和的极限分布，而不是精确分布?(ii)为什么独立随机变量和的极限分布是正态分布，而不是别的分布?(iii)如何描述极限分布是正态分布?(iv)为什么称为中心极限定理，这个“中心”是什么意思?3．1列维一林德贝格中心极限定理设(i){X}独立同分布；(ii)Vi，E(X)一，D(Xf)一口，0<<∞．则Vz∈嗯，≤z一cz．c2并具有应用形式∑x一近

8、似三=_一～N(0，1)(3)Vn仃116大学数学第31卷或者奎xN(，．(4)3．2隶莫佛一拉普拉斯中心极限定理设随机变量(72—1，2，⋯)服从以T／,P为参数的二项分布，且0