高考数学总复习：选修4-1《几何证明选讲》1.ppt

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1、第一节相似三角形的判定及有关性质[主干知识梳理]一、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段．成比例成比例三、相似三角形的判定及性质1．判定定理内容判定定理1对应相等，两三角形相似判定定理2对应成比例，两个三角形相似判定定理3对应成比例且相等，两三角形相似两角三边两边夹角2.性质定理内容性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应

2、角平分线的比都等于性质定理2相似三角形周长的比等于相似比性质定理3相似三角形的面积比等于推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比相似比的平方相似比的平方四、直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的．比例中项比例中项[基础自测自评]1.(教材习题改编)如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm.则BC的长为________．2．(教材习题改编)如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F.写出图中所有与△A

3、CE相似的三角形________________．解析由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各有一个公共锐角，因而它们相似．又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.答案△FCD，△FBE，△ABD3如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．答案1∶45．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD长为________．解析由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝

4、BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcosαsinα.答案mcosαsinα[关键要点点拨]1．使用平行线截割定理时要注意对应线段、对应边对应成比例，对应顺序不能乱．2．相似三角形判定定理的作用：(1)可以判定两个三角形相似．(2)间接证明角相等、线段长成比例．(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件．平行线分线段成比例定理的应用[规律方法]比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必

5、须转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．[跟踪训练]1．(1)(2014·泉州模拟)如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离为________米．[典题导入](2013·新课标全国Ⅱ高考)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．相似三角形的判定及性质(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径

6、；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．[规律方法]1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．2．注意辅助线的添加，多数作平行线．3．相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的直径等．[跟踪训练]2.如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.射影定理的应用[规律方法]1．在使用直角

7、三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，作垂线构造直角三角形是解该问题的常用方法．[跟踪训练]3．(1)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于________．解析在Rt△ACB中，由射影定理得CD2＝AD·DB,42＝8·AD，AD＝2，AB＝AD＋DB＝10，所以圆的半径等于5.答案5【创新探究】巧构相似三角形求面积之比(2014·广东揭阳一模)如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于

8、点C.若CB＝2，CE＝4，则AD的长为________．【高手支招】借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应