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时间:2020-04-25
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1、函数与方程测试题一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。)1.设二次函数y=f(x)的零点为x1=-4,x2=2,图象经过(-3,5),则f(x)=。解析二次函数的三种常用设法.答案 f(x)=-(x+4)(x-2)2.已知方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k=________.解析 设f(x)=2x+x-10,则由f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零点在(2,3)内.答案 23.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足________(与零的关
2、系).解析 因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,且f(a)=0,于是由0<x0<a,得f(x0)<f(a)=0,即f(x0)<0.答案 f(x0)<04.若函数f(x)=ax+b的零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.解析 由f(x)=ax+b有零点2,得2a+b=0(a≠0),代入g(x),得g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),它有零点x=0和x=-.答案 0,-5.设函数y(x)=x-lnx(x>0),则函数f(x)在区间(0,1),(1,+∞)内的零点个数分别为________.解析 设y=x与y=lnx,作图象可知f(x)在
3、区间(0,1)内无零点,在(1,+∞)内仅有两个零点.答案 0,26.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________.解析 ∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系知∴∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0,即-(4x2+2x-6)>0⇔2x2+x-3<0,解集为.答案 7.已知函数有且只有一个零点,则实数m的值为.解析由题知:方程只有一个零点.令∴方程只有一个正根.∴由图象(图略)可知∴m=-2.答案-28.已知函数f(x)=若函数g(x
4、)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.解析 画出图象,令g(x)=f(x)-m=0,即f(x)与y=m的图象的交点有3个,∴0<m<1.答案 (0,1)9.偶函数f(x)在区间为[0,a](a>0)上是单调,函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是________.解析 由f(0)·f(a)<0,且f(x)在[0,a](a>0)上单调,知f(x)=0在[0,a]上有一根,又函数f(x)为偶函数,f(x)=0在[-a,0]上也有一根.所以f(x)=0在区间[-a,a]内有两个根.答案 210.设函数f(x)=
5、x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围是________.解析 g(x)=ax-2a=a(x-2),当a<0时,x>2,由f(2)<0,得4-2a+a+3<0,a>7,舍去;当a>0时,x<2,由f(2)<0,得4-2a+a+3<0,a>7.综上,a∈(7,+∞).答案 (7,+∞)11.若二次函数中ac<0,则函数的零点个数是______个.解析令因判别式故函数必有两个零点.答案212.已知函数f(x)=1+x-+-+…+,g(x)=1-x+-+-…-,设F(x)=f(x+3)·g(x-3)
6、,且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,则b-a的最小值为________.解析 由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2010=,则f′(x)>0,f(x)为增函数,又f(0)=1>0,f(-1)<0,从而f(x)的零点在(-1,0)上;同理g(x)为减函数,零点在(1,2)上,∴F(x)的零点在(-4,-3)和(4,5)上,要区间[a,b]包含上述区间(b-a)min=9.答案 913.若直角坐标平面内两点P、Q满足条件:①P、Q都在函数f(x)的图象上;②P、Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)
7、与(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有________个.解析 根据题意:“友好点对”,可知,只须作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.如图,观察图象可得:它们的交点个数是:2.即f(x)的“友好点对”有:2个.答案 214.已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则实数k的取值范围是________.解析 因为Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0对一切k∈R恒成立,又k=-1时
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