2.7函数与方程.doc

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1、精品文档本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2．7函数与方程【知识网络】1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题【典型例题】例1．（1）若，则方程的根是(A)A．B．－C．2D．－2（2）设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（D）A．0B．9C．12D．18提示：由知的图象有对称轴，方程的6个根在轴上对应的点关于直线对称，依次设为，故6个根的和为18，答案为D．（3）已知，（、、

2、∈R），则有（）A．B．C．D．提示一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0∴，答案为B．提示二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．∴，答案为B．（4）关于的方程的两个实根、满足，则实数m的取值范围提示：设，则，即：，解得：．（5）若对于任意，函数的值恒大于零,　则的取值范围是提示：设，显然，精品文档则，即，解得：．例2．设依次是方程，，的实数根，试比较的大小．解：在同一坐标内作出函数，，的图象从图中可以看出，又，故例3．若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围．解：设，则原方程

3、可变为①原方程有实根，即方程①有正根．令(1)方程①有两个正实根，则解得；（2）方程①有一个正实根和一个负实根，则，解得：．综上：例4．已知二次函数为常数，且满足条件：，且方程有等根（1）求的解析式；（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由6．解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2．由知此函数图象的对称轴方程为，得，故．（2），∴4n1，即而抛物线的对称轴为∴时，在［m，n］上为增函数若满足题设条件的m，n存在，则，精品文档

4、又，∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］由以上知满足条件的m、n存在，．【课内练习】1．当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（D）A．B．C．D．2．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则(C)A．1B．C．D．提示：由题意，等差数列的首项为，四项的和为4，设公差为d，则解得：，故该数列的四项为：．3．已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是(B)A．3B．4C．5D．6提示：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4

5、．4．已知函数的图象如下，则（A）A．B．C．D．提示：，．当时，，当时，，∴，故，答案为A．5．是方程的解，则这三个数的大小关系是提示：在同一坐标系中作出函数和的图象，可以看出：，，∴，∴6．关于x的不等式，当时恒成立，则实数的取值范围为提示设，则t∈［1，3］，原不等式可化为：，等价于大于的最大值∵在[1，3]上为减函数，∴∴，解得：．7.已知函数若则与精品文档的大小关系为提示：其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，∵，与的中点在(－1，)之间，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴，答案为A．

6、8．已知函数的图象与直线只有一个公共点，求这个公共点的坐标．解：由，得因为两个图象只有一个公共点，所以，解得：当时，，；当时，当时，公共点的坐标是；当时，公共点的坐标是．9．已知，t∈[，8]，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求的取值范围．解：∵t∈[，8]，∴∈[，3]，∴∈[，3]．原题转化为：>0恒成立，当时，不等式不成立．∴，令，m∈[，3]，则：，解得：．∴的取值范围为．10．已知函数(（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；（3）若在［

7、m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围解：（1）证明任取精品文档∵，∴，，∴，即，故在(0,+∞)上是增函数（2）解∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,∴在（0，+∞）上恒成立，令，当且仅当即x=时取等号要使在(0,+∞)上恒成立，则故的取值范围是［,+∞)．（3）解由（1）在定义域上是增函数∴，即，故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，故只需要(,由于，则．作业本A组1．函数的图象与轴交点的个数是（B）A．1B．2C．3D．4提示：令，∵∴，解得或即方程只有两个实数根2．若函数的

8、图象与轴有交点，则实数的取值范围是（A）A．B．C．D．提示：令，得：，∵，∴，即．3．直线与曲线的公共点的个数为（Ｄ）A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　　D．4精品文档提示：将代入得：，显然该关于的方程有两正解，故关于的方程有四解，所以交点有4个，答案D．4.若关于的方程有负根，则实数的取值范围是由得：，解得：．5．若为方程的解，为不等式的解，为方程的解，则、、从小到大依次为；提示：，，在同一坐标系内作出函数和函数的图象，可以看出，答案为6．已知关于的方程有两个不同的实