数学《函数单调性和导数》教案(人教A选修).doc

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1、§3.3.1函数的单调性与导数【高效预习】（核心栏目）【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页,函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y的变化量与x的变化量的比值与导数的定义之间的关系。“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等

2、于零，则函数为常数函数.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【学习细节】（核心栏目）A．基础知识导数的应用知识点1函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究

3、函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数15/15的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增

4、加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若>0则函数f(x)为增函数.可把看作=.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数的定义域为，并且在

5、定义域上是增函数，其导数；（2）函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增；而，当时，；当时，；当时，。（3）函数的定义域为，在定义域上为增函数；而，若，则，当时，；（4）函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递减；15/15而，因为，显然.【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么；如果函数在这个区间内单调递减，那么．【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？【探究】如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近

6、单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于,函数曲线呈向上增加状态;当切线斜率负时,切线的倾斜角大于、小于，函数曲线呈向下减小状态.知识归纳函数的单调性与导数的关系:在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．注意：1.若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则仍为增函数，（减函数的情形完全类似）.即是说在区间内是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要

7、条件.2.能推出为增函数，但反之不一定．如函数在上单调递增，但．所以是为增函数的充分条件，但不是必要条件．3.为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为15/15或，当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性．所以是为增函数的必要条件，但不是充分条件．4.为增函数的充要条件是对任意的都有且在内的任一非空子区间上．【例题1】已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．【解析】利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性，然后画出简图.【答案】当时，，可知在此区间内单调递增

8、；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如图所示．知识点2用函数的导数研究函数的单调性求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义