十二复习极限与导数程.doc

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1、第十二讲复习极限与导数一、本讲进度极限与导数复习二、本讲主要内容本章主要内容是极限和导数的概念与运算法则，以及导数在几何、函数等方面的应用。（1）极限是本章也是整个微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限，它们都是是在无限变化过程中（n→∞，x→∞或x→x0）的变化趋势，这一共同点决定了两类极限有类似的运算性质；如果两个数列（或函数）有极限，那么它们的和、差、积、商的极限分别等于这两个数列（或函数）的极限的和、差、积、商（作为除数的数列或函数的极限不能为0）。其原因在于无穷数列{an}是定义域为N+的特殊函数an=f(n)，数列的极限是函数极限=A的特例。极限概念及运算

2、性质决定了确定极限的两种方法：一是利用数形结合思想，从量变中认识质变的数学思想方法，即极限方法。利用极限的方法求出了变速直线运动的瞬时速度与曲线上某点的切线方程，并从中抽象出函数的导数概念。导数是一种特殊的函数极限，，x0变化时，f’(x0)就是导函数，二是利用极限的运算法则，可推导出最常用的导数公式与运算法则：c’=0（c为常数），(xn)’=nxn-1（n∈N+），[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)，[cf(x)]’=cf’(x)，进一步可以求出所有多项式函数的导数。（2）导数f’(x)是函数平均变化率的极限，瞬时速度、切线斜率、经济学中的边际成本都与平

3、均变化率有关，因而导数有广泛的作用。（3）本章思想方法①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等。三、典型例题例1、求下列极限（1）（2））解题思路分析：（1）因分子及分母的次数随n增大而增加，故不能利用运算性质。先求和化简。专业专注116号为您服务-8-∴（1）当x→1时，及均无意义，应约去因式x-1∵∴说明：函数在x=1无定义，但与存在无关。一般地有下列结论：如果f(x)=x0处无定义，g(x)在x=x0处有定义并存在极限，且当x≠x0时，f(x)=g(x)，则。例2、设函数y=ax3+bx2+cx+d

4、的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。解题思路分析：P（0，d）∵曲线在点P处切线为12x-y-4=0∴x=0时，y=d∴d=-4∵y’=3ax2+2bx+c∴y’

5、x=0=c又切线斜率k=12∴c=12又函数在x=2处取得极值0∴∴∴∴函数解析式y=2x3-9x2+12x-4例3、偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2（1）求y=f(x)的解析式；（2）求y=f(x)的极大（小）值。解题思路分析：∵f(x)是偶函数专业专注11

6、6号为您服务-8-∴b=d=0又图象过P（0，1）∴e=1此时f(x)=ax4+cx2+1∵y’=4ax3+2cx∴y’

7、x=1=4a+2c=1①又切点（1，-1）在曲线上∴a+c+1=-1②由①②得：∴f(x)=（2）f’(x)=10x3-9x=0∴x=0，x=列表可得：时，f(x)极小=x=0时，f(x)极大=1例4、曲线上哪一点的法线在y轴上截距最小？（法线是指过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）解题思路分析：在曲线上任取一点（x0，y0），则过该点切线的斜率为k=2x05∴法线的斜率为∴法线方程y-y0=令x=0，使法线在y轴上的截距∴令y’=0，得x0=

8、±1当x0<-1时，y’<0，∴y单调递减当-10，∴y单调递增当01时，y’>0，则y单递增∴当x0=±1时，，此时点（±1，）例5、研究函数f(x)=ax3+bx2-x+1的单调性（a≠0）专业专注116号为您服务-8-解题思路分析：1、a>0时，由f’(x)>0得或得∴f(x)在（-∞，，，+∞）上单调递增；在上单调递减。2、当a<0时，f(x)在上单调递增；在（-∞，，，+∞）上单调递减。例6、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么为多少时容

9、器的容积最大？并求出它的最大容积？解题思路分析：设容器底面短边长为xm，另一边长为(x+0.5)m，高为(3.2-2x)m∵3.2-2x>0，x>0∴0