导学单12-21（知识篇）.doc

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1、江苏省海门实验学校2013级高一年级双休日导学单（三角恒等变换——知识篇）【学习目标】1、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3、能运用上述公式进行简单的恒等变换.【知识网络】简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式=①；②；③；要点诠释：1．公式的适用条件(定义域)：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中2．正向用公式①、②，能把和差角的弦

2、函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简．要点二：二倍角公式1.在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：；12；．要点诠释：1．在公式中，角α没有限制，但公式α中，只有当时才成立；2.余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．3.二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这

3、些公式的关键．要点三：二倍角公式的推论升幂公式：，降幂公式：；；.要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值

4、：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．3．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；12（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．【典型例题】类型一：正用公式例1．已知:，求的值.【思路点拨】因为不知道

5、角所在的象限，所以要对分别讨论求的值．【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．举一反三：【变式1】已知，求的值．【解析】．例2．已知，，，，求12的值．【思路点拨】注意到，应把看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求，只需求出．【解析】∵，∴，∵，∴．∴【总结升华】（

6、1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】已知【思路点拨】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）【解析】∵，∴∴∴＝12【变式2】已知求的值．【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）∵，∴∴又∴∴＝于是有.类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）.【思路点拨】题目中涉及

7、到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．（1）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.【解析】（1）原式；（2）原式=12.【总结升华】（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．（2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝【变式2】已知，那么的值为。【解析】∵，∴.例4.求值：（1）；（2）【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘