正余弦定理学案.doc

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1、正弦定理、余弦定理学案1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：正弦定理的几种重要变形：（1）asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB．（2）a＝2RsinA；b＝2RsinB；c＝2RsinC．（3）sinA＝；sinB＝；sinC＝．（4）a∶b＝sinA∶sinB；b∶c＝sinB∶sinC；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．正弦定理解决的题型：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2.三角形面积公式

2、：S＝absinC＝bcsinA＝acsinB［例1］在△ABC中，已知b＝，∠A＝45°，∠B＝60°，求a．［变式1］在△ABC中，已知c＝，∠A＝45°，∠B＝60°，求b．1．已知两角和一边，解三角形．一般步骤是：先根据三角形的内角和为180°，求出第三个角，再根据正弦定理求得其余两边．［变式2］在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，b＝2，求a，c，∠A．5［例2］在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，a＝5，求△ABC的面积．［例3］在△ABC中，若b2tanA＝a2tanB成立，判断该三角形的形状．［例4］在△

3、ABC中，求证．2．已知两边和其中一边的对角，解三角形．［例3］在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．（1）a＝4，b＝5，A＝30°．（2）a＝，b＝，B＝120°．（3）a＝5，b＝4，A＝60°．（4）a＝，b＝，A＝60°．练习1．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A为（　　）A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30°2．在△ABC中，若a＝2b·sinA，则B为（　　）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°3.在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则S△AB

4、C＝_____．4.在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．51.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosCcosA＝，cosB＝，cosC＝2.利用余弦定理可以得到以下几个常用的关系式：角A为钝角a2>b2＋c2角A为直角a2＝b2＋c2角A为锐角a2

5、中，已知a∶b∶c＝2∶∶（＋1），求∠A，∠B，∠C．［例2］已知△ABC的三边a，b，c，且cosA∶cosB＝b∶a，试判断△ABC的形状．［例3］在△ABC中，b＝，c＝1，∠B＝45°，求a，∠C的值．5练习1．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b等于（　　）A．4B．2C．2D．42．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为（　　）A．－B．C．－D．3．在△ABC中，已知C＝120°，两边a和b是方程x2－3x＋2＝0的两根，则c等于（　　）A．B．C．D．4．在△AB

6、C中，若a＝2，b＝2，c＝＋，则A＝_____．5．若三角形ABC的三边是连续正整数，最大角是钝角，则此三角形的三边分别为_____，_____和_____．6．在△ABC中，若sin2C＝sin2A＋sin2B－sinA·sinB，求角C的度数．7在△ABC中，若a2＝b2＋c2＋bc，求A．51．三角形的三边分别是a，b，c，且满足：（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，则c边所对角等于（　　）A．45°B．60°C．30°D．150°2．△ABC的周长等于20，面积是10，∠A＝60°，则BC边的长是（　　）A．5B．6C．7D

7、．83．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（　　）A．1

8、，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．8.已知扇形OAB的半径为1，圆心角为，求一边在半径上的内接矩形面积的最大值．5