高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布教学案理北师大版.docx

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1、第8讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xa1a2…arPp1p2…pr(1)均值：称EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：DX＝E(X－EX)2＝(ai－EX)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．2．均值与方差的性质(a，b为常数)3．超几何分布与二项分布的均值XX服从参数为N，M，n的超几何分布X～B(n，p)EXnp4．正态曲

2、线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1．(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．常用结论均值与方差的七个常用性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)Ek＝k，Dk＝0，其中k为常数．(2)E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2

3、DX．(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2．(4)DX＝EX2－(EX)2.(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝EX1·EX2．(6)若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)．(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．二、教材衍化1．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则EY＝________．解析：EX＝－＋＝－，EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－＋3＝.答案：2．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X01

4、23P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．解析：EX＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.EY＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因为EY2c－1)＝P(X2c－1)＝P(X

5、＝.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　　)(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　)(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)答

6、案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×二、易错纠偏(1)期望、方差的性质不熟导致错误；(2)二项分布的数学期望公式用法不当；(3)求错分布列，导致Eξ出错．1．已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则EY，DY依次是________．解析：由X～N(1，22)得EX＝1，DX＝4.又X＋2Y＝4，所以Y＝2－，所以EY＝2－EX＝，DY＝D(X)＝1.答案：，12．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为

7、，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则EY＝3×＝2.答案：23．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望值为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(

8、ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，Eξ＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.答案：1　　　　　　离散型随机变量的均值(师生共研)(2020·西安模拟)从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图①和②.现甲选择L1或L2在40分种内从A地到B地，乙选择L1或L2在50