2020版高考数学计数原理、概率、随机变量及分布列第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布教案理新人教A版

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1、第9讲　离散型随机变量的均值、方差和正态分布基础知识整合1．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为①均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．②方差称D(X)＝xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b.②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)③两点分布与二项分布的

2、均值、方差2．正态分布(1)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ

3、.1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．1．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)(　　)A．60.82元B．68.02元C．58.82元D

4、．60.28元答案　A解析　E(ξ)＝100×＋(－10)×≈60.82，所以选A.2．(2019·海南海口模拟)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝(　　)A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案　B解析　随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.故选B.3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的

5、集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝(　　)A．1B．5C．2D.答案　B解析　由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)A.B.C．4

6、D.答案　B解析　由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.5．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案　20，解析　记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.6．已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)＝0，D(X

7、)＝1，则a＝________，b＝________.答案　　解析　由⇒⇒核心考向突破考向一　离散型随机变量的均值与方差角度　　与古典概型有关的均值与方差例1　盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解　(1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿

8、球，所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.所以随机变量X的概率分布如