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《1997考研数四真题及解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、Borntowin1997年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设,其中可微,则.(2)设,则.(3)设阶矩阵,则.(4)设是任意两个随机事件,则.(5)设随机变量服从参数为的二项分布,随机变量服从参数为的二项分布.若,则.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设在点的某邻域内连续,且当时,的高价无穷小,则当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷
2、小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小(2)若,在内,则在内有()(A),(B),(C),(D),(3)设向量组,,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A),,(B),,16Borntowin(C),,(D),,(4)非齐次线性方程组中未知量个数为,方程个数为,系数矩阵的秩为,则()(A)时,方程组有解(B)时,方程组有惟一解(C)时,方程组有惟一解(D)时,方程组有无穷多解(5)设是一随机变量,,,则对任意常数,必有()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)求极限.四、(本题满分6分)设有连续偏导数
3、,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)假设某种商品的需求量是单价(单位：元)的函数：,商品的总成本是需求量的函数：；每单位商品需要纳税2元,试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.六、(本题满分7分)求曲线,,,所围成的平面图形的面积,并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.七、(本题满分7分)设函数在内连续,且,试证：16Borntowin(1)若为偶函数,则也是偶函数.(2)若为单调不增,则单调不减.八、(本题满分6分)设是以点,和为顶点的三角形区域,求.九、(本题满分7分)设为阶非奇异矩阵,为维列向
4、量,为常数.设分块矩阵其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1)计算并化简；(2)证明：矩阵可逆的充分必要条件是.十、(本题满分9分)设矩阵与相似,且(1)求的值；(2)求可逆矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量的绝对值不大于1；；在事件出现的条件下,在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求：(1)的分布函数；(2)取负值的概率.十二、(本题满分8分)假设随机变量服从参数为的指数分布,随机变量16Borntowin(1)求的联合概率分布；(2)求.16Borntowin1997年全国硕士研究生入学统
5、一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由可知(2)【答案】【分析】注意本题要求的是个常数.【解析】令,则,两边从0到1作定积分,得.(3)【答案】【解析】把第各行均加至第1行,则第1行为,提取公因式后,再把第1行的-1倍加至第各行,可化为上三角行列式,即.(4)【答案】【解析】根据事件间运算的分配律,有,故如果将直接展开也是一样的,.所以16Borntowin(5)【答案】 【解析】由于两个二项分布服
6、从的参数相等,所以只需通过其中一个条件确定参数,则另一个二项分布的参数就可以确定.因,所以.(通常在求一个事件概率比较复杂时,往往我们都考虑通过它的对立事件来求)又,故.(由于概率是必需小于等于１的,所以开根号时,只能取正)因此,,故【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若,则,.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】由无穷小阶的比较的概念可知,只要考察极限即可.【解析】由于,因此,当时,是的高阶无
7、穷小.故应选(B).(2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由知,的图形关于轴对称.由在内,且知,的图形在内单调上升且是凸的；由对称性知,在16Borntowin内,的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由可知.当时,,此时由题设知,,则,故应选(C).方法3：排除法.取,易验证符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知是一个二阶可导的偶函数,则为奇函数,为偶函数,又在内,则在内,故应选(C).(3)【答案】(C)【分析】
8、这一类题目最好把观察法与技巧相结合.【解析】对于(A),,即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知线性相关,排除(A)；对于(B),,即存在一组不全为零的数1,1,-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而
