1997考研数二真题及解析

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1、Borntowin1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)已知在处连续,则.(2)设,则.(3).(4).(5)已知向量组的秩为2,则.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设时,与是同阶无穷小,则为()(A)1(B)2(C)3(D)4(2)设在区间上记,,则()(A)(B)(C)(D)(3)已知函数对一切满足,若则()(A)是的极大值(B)是的极小值(C)是曲线的拐点(D)不是的极

2、值,也不是曲线的拐点(4)则()14Borntowin(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(5)设为()(A)(B)(C)(D)三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)求极限.(2)设由所确定,求.(3)计算.(4)求微分方程的通解.(5)已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.(6)已知,且,其中是三阶单位矩阵,求矩阵.四、(本题满分8分.)取何值时,方程组无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.五、(本题满分8分)设曲线的极坐标方程为,为上任一点,为上一定点,若极径与曲线所围成的曲边扇形面积值

3、等于上两点间弧长值的一半,求曲线的方程.14Borntowin六、(本题满分8分)设函数在闭区间上连续,在开区间内大于零,并满足(为常数),又曲线与所围成的图形的面积值为2,求函数,并问为何值时,图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七、(本题满分8分.)已知函数连续,且,设,求,并讨论的连续性.八、(本题满分8分)就的不同取值情况,确定方程在开区间内根的个数,并证明你的结论.14Borntowin1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【解析】由于在处连续,故【相关

4、知识点】1.函数在点连续：设函数在点的某一邻域内有定义,如果则称函数在点连续.2.如果函数在处连续,则有.(2)【答案】【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：,,,.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(3)【答案】或【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：方法1：原式.14Borntowin方法2：原式.(4)【答案】【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：原式.(5)【答案】3【解析】方法1：利用初等

5、变换.以为行构成矩阵,对其作初等变换：因为所以.方法2：利用秩的定义.由于则矩阵中任一三阶子行列式应等于零.,应有,14Borntowin解得.方法3：利用线性相关性.因为故线性相关,以组成的线性齐次方程组有非零解,因故有非零解.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(C)【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：与同阶,故应选(C).(2)【答案】(D)【解析】方法1：用几何意义.由可知,曲线是上半平面的一段下降的凹弧,的图形

6、大致如右图.CabEDxyOAB是曲边梯形的面积；是矩形的面积；是梯形的面积.由图可见,应选(D).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的都成立的结果,故可以取满足条件的特定的来观察结果是什么.例如取,则14Borntowin.【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点,使成立,再由所以是单调递减的,故从而.为证,令则由于,所以是单调递增的,故,,即在上单调递增的.由于所以,从而,即.因此,,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数在积分区间上连续,则在上至少

7、存在一个点,使下式成立：.这个公式叫做积分中值公式.2.拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.(3)【答案】(B)【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：由知为的驻点.把代入恒等式,即.由于分子、分母同号,故,因此驻点14Borntowin为极小值点.应选(B).(4)【答案】(A)【解析】由于函数是以为周期的函数,所以,,的值与无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计的值有多种方法.方法1：划分取值正、负的区间.当时,,所以.选(A).方法2：用分部积分法.故应选(A).【评注

8、】本题的方法1十分有代表