1997考研数三真题及解析定稿

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1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设,其中可微,则___________.(2)若,则___________.(3)差分方程的通解为___________.(4)若二次型是正定的,则的取值范围是___________.(5)设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的

2、四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设,则当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小(2)若,在内,且,则在内有()(A),(B),(C),(D),(3)设向量组,,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A),,(B),,(C),,(D),,20(4)设为同阶可逆矩阵,则()(A)(B)存在可逆矩阵,使(C)存在可逆矩阵,使(D)存在可逆矩阵和,使(5)设两个随机变量与相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是()(A)(B)(C)

3、(D)三、(本题满分6分)在经济学中,称函数为固定替代弹性生产函数,而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).试证明：但时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有.四、(本题满分5分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨),为销售量(单位：吨),商品的成本函数(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2)为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数在上连续、单调不减且,

4、试证函数20在上连续且单调不减(其中).七、(本题满分6分)从点作轴的垂线,交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1)求；(2)求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且满足方程,求.九、(本题满分6分)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1)计算并化简；(2)证明：矩阵可逆的充分必要条件是.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3

5、；矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是20.(1)求的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵.十一、(本题满分7分)假设随机变量的绝对值不大于1；；在事件出现的条件下,在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求的分布函数.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨八点的第分钟到达底层候梯处,且在上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；

6、首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、数学期望和方差.201997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由可知(2)【答案】【分析】本题中是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令,则,两边从0到1作定积分得,解得.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据

7、几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】【解析】对应的齐次差分方程是,显然有不恒等于零的特解.因方程的右端函数,可设非齐次差分方程的特解有形式,代入方程得由于,于是可确定,即非齐次差分方程有一个特解是.从而,差分方程的通解是.(4)【答案】20【解析】二次型对应的矩阵为.因为正定的顺序主子式全大于零.又,故正定,即.(5)【答案】分布,参数为9【解析】由是来自总体的简单随机样本,故独立,且都服从正态分布.类似有相互独立,且都服从正态分布.又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即.其中,

8、.由期望的性质,；由独立随机变量方差的性质,,故.因,故,所以,.由分布的定义,现已有,将其标准化得,故.化简有,即.20【相关知识点】1.数学期望的性质：,其中为常数.2.方差的性质：与相互独立时,,其中为常数.3.分布的定义：若相互独立,且都服从标准正态分布,则,.4.若,则.5.分布的定义：若,,独立,则.二、选择题(本题共