]1997考研数二真题及解析

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1、Borntowin1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)−2(cos)xxx,≠0,(1)已知fx()=在x=0处连续,则a=.ax,0=1−x(2)设y=ln,则y′′=.2x=01+xdx(3)∫=.xx(4−)+∞dx(4)=.∫0xx2++48(5)已知向量组ααα=−(1,2,1,1),=(2,0,,0),t=−−(0,4,5,2)的秩为2,则t=.123二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分

2、15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)tanxxn(1)设x→0时,ee−与x是同阶无穷小,则n为()(A)1(B)2(C)3(D)4b(2)设在区间[,]ab上fx()><>0,fx′()0,fx′′()0,记S=fxdxS(),=fbba()(−),12∫a1S=+−[()fafbba()](),则()32(A)SSS<<(B)SSS<<123231(C)SSS<<(D)SSS<<3122132−x(3)已知函数yfx=()对一切x满足xf′

3、′()3[()]1x+=xfx′−e,若fx′()=0(x≠0),00则()(A)fx()是fx()的极大值0(B)fx()是fx()的极小值0(C)(,())xfx是曲线yfx=()的拐点00(D)fx()不是fx()的极值,(,())xfx也不是曲线yfx=()的拐点000x+2πsint(4)设Fx()=∫esintdt,则Fx()()x1Borntowin(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数22,−≤xx0xx,0<(5)设gx()=,()fx=,则gfx[()

4、]为()xx+>2,0−≥xx,0222,0+

5、2xydy)=0的通解.xx22xx−−xxx(5)已知y=xe+=e,,yxe+=eyxe+e−e是某二阶线性非齐次微分方程123的三个解,求此微分方程.111−2(6)已知A=011,且A−=ABE,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B.001−四、(本题满分8分.)21xxx+−=λ123λ取何值时,方程组λxxx−+=2无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷1234551xxx+−=−123多解时写出方程组的通解.五、(本题满分8分)设曲线L的极坐标方程为rr=(

6、)θ,Mr(,)θ为L上任一点,M(2,0)为L上一定点,0若极径OM、OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上MM,两点间弧长值的一00半,求曲线L的方程.2Borntowin六、(本题满分8分)设函数fx()在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xfx′()=fx()+3a2x(a为常数),又曲线yfx=()与xy=1,=0所围成的图形S的面积值为2,求函数2yfx=(),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七、(本题满分8分.)fx()1已知

7、函数fx()连续,且lim=2,设ϕ()x=∫fxtdt(),求ϕ′()x,并讨论ϕ′()x的x→0x0连续性.八、(本题满分8分)ππ就k的不同取值情况,确定方程x−=sinxk在开区间(0,)内根的个数,并证明你22的结论.3Borntowin1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)1−(1)【答案】e2【解析】由于fx()在x=0处连续,故−2x−2ln()fxln(cos)xxlncosxf(0)=lim()

8、fx=lime=lime=limexxx→→→000x→01(sin)−xlncosxxlncoscosxlim洛必达limxx22x→0x→02x=limee==ex→0sinx1lim−−=eex→02cosxx=2【相关知识点】1.函数yfx=()在点x连续：0设函数fx()在点x的某一邻域内有定义,如果lim()fxfx=(),则称函数fx()在点00xx→0x连续.02.如果函数在x处连续,则有limfx()=limfxfx()=().00xx→+00xx→−3(2)【答案】−2【解析