轨迹问题的求法(专题)

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1、轨迹方程问题轨迹方程的求法求平面上的动点的轨迹方程是高考考查的重点内容之一.由于动点运动规律千差万别,因此求动点轨迹方程的方法也多种多样,今天我们介绍几种常用的方法。直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.这种方法叫直接法.1、直接法练习1：动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积,求P的轨迹方程.解：设动点P（x，y）则S=

2、x·y

3、点P到直线x十y=6的距离故P点的轨迹方程为：即：（x+y-6）2=2

4、xy

5、当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36当xy

6、<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0练习1:若动圆与圆　　　　　　外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是()（B）（C）（D）（A）B2、定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求，这种方法叫定义法在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．练习2：已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q

7、,使得

8、PQ

9、=

10、PF2

11、,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线A练习3：如图,在△ABC中边BC=a,若三内角满足sinC－sinB=sinA,求点A的轨迹方程。ACB解:以BC所在的直线为x轴,BC中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则B(一a,0),C(a,0),设A(x,y)则即

12、AB

13、-

14、AC

15、=a（定值）由sinC－sinB=sinA由双曲线定义知轨迹方程为：3、相关点法（代入法）若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则用动点M的坐标（x，y）表示相关点N的坐标，然后将转化后的动点N的坐标代入已知曲线的方

16、程或满足的几何条件,从而求得动点M的轨迹方程，此法称为相关点法或代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况。例3、连接定点A(0,4)与双曲线上任一点Q，点P在线段AQ上，且分线段AQ成1：2，求点P的轨迹。考向三　相关点法求轨迹方程[审题视点]设出P点的坐标(x，y)后，直接找x，y的关系式不好求，故寻求其他变量建立x，y之间的联系．解：设Q(xl,y1),P（x,y),由题设知∵Q（x1，y1）在双曲线上：即:这就是所求点P的轨迹方程。已知抛物线,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P

17、的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线．练习：解：设又点B在抛物线上,其坐标适合抛物线方程，整理得点P的轨迹方程为:所以其轨迹为抛物线．由题设，P分线段AB的比得解得∴（x-3，y-1）=2(x1-x,y1-y）例4、已知线段AB的长为a,P分AB为AP∶PB=2∶l两部分,当A点在y轴上运动时,B点在x轴上运动,求动点P的轨迹方程。解法一：设点P(x,y),A(0,y′),B(x′,0)由AP∶PB=2∶l得∴(x-0,y-y′)=2(x′-x,0-y)解法二：设动点P(x,y),AB和x轴的夹角为θ,

18、θ

19、≤，作PM⊥x于M,PN⊥y轴于N∵

20、AB

21、=a,

22、∴

23、AP

24、=a,

25、PB

26、=a∴动点P的参数方程为即：OABPMN4、参数法若动点P(x,y)的坐标x与y之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x、y关于另一变量的参数方程,再化为普通方程．例5、椭圆与双曲线有共同的焦点F1(一4,0),F2(4,0),且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,求椭圆与双曲线交点的轨迹。解：设双曲线的实半轴长为a（2

27、x

28、……（1）………（2）当x＞0时得（x—5）2＋y2=9当x＜0时得（x＋5）2＋y2=9由2＜a＜4，知2＜

29、x

30、＜8

31、故所求轨迹为半径为3,分别以(5,0)及(－5,0）,圆心的两个圆。5、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．总结：以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法,如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．作业：已知两点以及一条直线l：y=x,设长为的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB交点M的轨迹方程．解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可

32、设则,PA：QB：消去t，得当t=－2，或t=－1时