单因素方差分析的回归解释.pdf

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1、第7卷第3期清远职业技术学院学报Vo1．7、No．32014年6月JournalofQingyuanPolytechnicJun．2O14单因素方差分析的回归解释彭东海(中山职业技术学院基础部，广东中山528404)摘要：从多元线性回归模型的参数检验问题出发，结合带线性约束条件的多元线性回归模型的参数估计问题，通过建立虚拟变量回归模型，推导出单因素方差分析问题的检验方法，从而对方差分析的方差分解方法的理论依据作出了简单合理的解释。关键词：多元线性回归；参数检验；带约束条件的多元线性回归；单因素方差分析中图分类号：O212．4文

2、献标识码：A文章编号：1674-4896(2014)03-0110-031多元线性回归模型参数检验问题回顾w=f’，=+(F_业碧≥F．(q,n-p-1}~-r-"对于模型lⅣ^f0，2厶2带约束条件的多元线性回归模型其中y=，，y一，JY=Xfl+elxllX12，⋯，ln对于模型NnfDIcr2厶)(2)，12

3、X22，⋯2nX=(n≥p+1)H·+，卢=。类似通过带约束条件的最／b-"乘法可得出参jn，，⋯，数p的估计(参见[1】)：通过最t]~--乘法可得出参数的估计：卢=)一1一l—l—1．1pn=(X。X)X。Y一

4、(X。X)H。[H()(‘X)H’](H(X’X)XT。且奄8N，(x，X1oX’Y-c)=B+(X’X)Hl[H(X’X)H。](HB-C)对于检验假设：Ho：Hp+I=c其中13=(x’X)‘X’Y为模型(1)中参数p的最小其中rank(H)=q，c为q×1阶常向量。设模型(1)的二乘估计。易知此时模型的残差平方和为：残差平方和为：S=∑(Yi-Y1)=Yt(I—x·X)～X·)YSHE=(Y—XpH)’(Y—xH)i=I多元线性回归理论已证明s与B相互独立，且=(Y-X13+Xp-Xp)’(Y-XB+xp+Xp-XH)C

5、，=‘(Y-Xp)’(Y-XB)+2(B—B)’X。(Y-Xp)+(B—x(n—p—1)(参见[1】)，从而在H0成立的条件下仃p)‘X。X(p—p)有HB-(：N(O，盯H(X’x)H‘)，且H13一c与s相互=(Y—Xp)’(Y—Xp)+(p—p)’x。X(13一B)独立，故可构造统计量1一l=S+(Hp-c)。In()【’X)H’】(HB—c)F_)"CHf"X)-'Hj")／q一其中S为模型(1)残差平方和。／h一因此，对于模型(1)的假设检验问题：H0：H。当H0成立时，有FF(q，I"1一P一1)，从而在给定0【)

6、B=c，其否定域显著性水平下，H0的否定域为：收稿日期：2014-3—4基金项目：中山市2012年度科技计划项目(编号：20123A351)。作者简介：彭东海(1981一)，男，广东梅州人，讲师，研究方向为应用数学，概率统计。llO第7卷清远职业技术学院学报2014年Ey,⋯=rn1w：JlF-皿—l—l其中y，7。，}≥F(q，n_p—1)引入虚拟变量可改写为=≥‰一。1f1，．y是在水平下观测得．，，、0，是在非4水平下观测得’，⋯’3部分参数显著性检验方法豆然有DI+D：+⋯+Dr=1，故可假设模型对于模型(1)，下面考

7、虑对13。，p一，B。中届+局日++··++￡s(q)(3)部分参数的显著性进行检验，不妨考虑检验：Hn：为求参数p。，p．，p：，⋯，p．的估计，B．=B+：=⋯B=0记Q(JB)=∑一成一q一口：⋯．_一。J[j．，．。取H=(O㈣小1)，I(其中O表示零矩阵，下文同)，则检验H0等价于检验：H。：Hp=0Q。(卢)=∑(fj一卢。一p．)，i=1，2，⋯，r一1由上面一讨论知在给定显著性水平下的否Q，=∑。，则显然有Q(13)=∑6e),ft．CmQ定域为：：{≥)1此时S呱表示去掉，⋯，后建立的Y关于达到最小当且仅当Q

8、，，Q2Q，同时达最小，故由最小二乘法原理知p。，B。，p：，⋯，B．的x。．x：，⋯，X的回归方程的残差平方和，可记之为S一SE为Y关于所有自变量X1．x2，···，x，xr+1，⋯，估计分别为：=y，=)，l-y，，i=1，2，⋯，卜J。从而可X的回归方程的残差平方和，可记之为SE(x⋯．得经验公式为：⋯故假设Ho：p⋯=p2=⋯=p。=0，lxp】，=Y，+(l—Y，)+(Y2一Y，)D2+⋯+(Y，一．一，)D，一I的否定域可改写为：为检验r个不同因素水平下Y均值有无差fF：!兰!：：：二兰!：垃二!f异，作检验假设：

9、：=：=⋯==0w={IsE(x”，⋯Ix—xN“Ixn—p一f，由前三推导可知在给定显著性水平下H0的否≥F(p—r，n—p-I)I定域为：r，、、由此可知当模型Y=XB+￡中含有x．，x：，⋯，XTr个：fL)≥F,(r-1．n-r)}变量，若再加入S个变量xx，⋯，x，