北师大版高中数学必修5第一章《数列》数列的应用

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1、数列的应用北师大版高中数学必修5第一章《数列》阜阳市汇文中学：杨奎制作1数列的应用与数列有关的应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题.2解决有关数列的应用题与解决其它应用题相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的关系，便于确定模型的类型（等差或等比）；弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇到问题按等比增长时，对次数的理解要准确.数列的应用3例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂

2、为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A.511个B.512个C.1023个D.1024个[分析]由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟，40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22，23，….这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时，这种细菌的个数为a10=1·210-1=29=512.故本题应选B.[说明]此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得出29的结果.4时间细菌个数经过1个20分钟2=21经过2个20分钟4=22

3、经过3个20分钟8=23…………经过3小时29=5125例2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？[分析]依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项.6解：设从每一台工作起，这n台收割机工作的时间依次为a1，a2，…an小时，依题意，{an

4、}是一个等差数列，①②由②得，a1+a2+…+an=24n,③7由①、③联立方程组得，解之得，a1=40，an=8.答：用这种方法收割完这片土地上的全部小麦需用40小时.8例3.某林场原有木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大值.（设1.2520=86.74）[分析]木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也是等比数列问题，原来a，翻一翻2a，翻两翻4a，依次类推.[解]910例4.顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑，采用分期付款的

5、方法，先付款(也称首付)0.25万元，余款以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每月利息按复利计算(即每月利息记入下月本金)（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后……一年后顾客欠商场本利和.（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？11（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后……一年后顾客欠商场本利和.[解]1个月后欠商场本利和：1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元,2个月后欠商场本利和:1.01×(1+

6、1%)=1.02万元,3个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元,一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元.……12（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？主要思路：思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.13思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.[解法1]1个月后欠1·（1+1%）-x=1.01-x2个月后欠（1

7、.01-x）·1.01-x=1.012-1.01x-x3个月后欠（1.012-1.01x-x）·1.01-x=1.013-1.012x-1.01x-x……12个月后欠1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x设每月付款x元，14由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0得x+1.01x+……+1.0110x+1.0111x=1.0112答：每月还870元.15思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.[解法2]商品购买1年后货款全部付清时货款增值为1×1.0112万元.设每期付款额

8、为x万元第12期付款x万元时,没有增值,还是x万元，第11期付款x万元,经过1个月增值为x·1.01万元，第10期付款x万元,经过2月增值为x·1.012万元，……第1期付款x万元,经过11月增值为x·1.