一类平面自仿射tiles的边界.pdf

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1、第44卷第3期数学的实践与认识Vo1．44．No．32014年2月MATHEMATICSIN摘PRAC

2、知识]●J●：0>一设是2×2阶扩张矩阵(即的所有特征值的模都大于1)，根据文献[1]j对于任意的<一2有限集DcR，存在惟一的非空紧子集=T(A，D)cR。，满足VlT：UA>(一+d)(1．1)一乏即AT=U(T+d)，且具有如下表达式<一髓={∑Adk：dk∈D}(1．2)称上述为自仿射集，D为数字集，(，D)为自仿对，如果D：ldet(A)l且T。≠0，称为自仿射tiles([2—4])，此时存在离散集cR。，满足+g=R，(T。+)n(T。+Y)=(，Y∈)自仿射tiles是分形中一类重

3、要的集类，近年来，人们对白仿射tiles的研究表现出极大的兴趣，也得到了一些较好的结果，例如文献[5】对一维自仿射tiles的结构进行了详细分析，通过迭代法找到了它的所有边界点，文献[6]研究了由连续共线型数字集生成的自仿射tiles，得到了其连通性是由扩张矩阵所确定的特征多项式所确定，文献『71系统地研究了一类平面上的tiles，通过对自仿射tiles元素的基数展开，获得了自仿射tiles连通的充要条件，并给出不连通条件下连通分量的详细算法，由于平面自仿射tiles的边界并不是直线情况的简单推广

4、，文章仅考虑由A=P．II,D=[；]：。-p·一，。J-g-一)收稿日期：2013—03．26资助项目：福建省自然科学基金项目(2011J01003)；山西省大学生创新性实验项目(2011361)；长治学院科研项目(201216)218数学的实践与认识44卷～1=p-一～]，—=P-口一rk]c．3其：』≠q={『rJ]：。-p一，。口·一)c．4图12主要结果定理1设P，q∈Z，且IPl2，IqI2，令=P]，。={[；]：。IPI-1,0<-Jcz则T=T(A，D)是一类自仿射

5、Tiles．证明我们仅需考虑P>0，q>0的情况，这是因为，对T迭代一次T(A，D)：T(A，AD+D)其中=lp02p。+。=[pal+a2+]：。，z-p一，。，g-一)c2若p>O．q0，令。=A。+。+[p2p]若P<0，q<0，令

6、。=。+。+p2+p]取【，J仪仪是T(A，J明一／rf移，／1、天一股，1lJ思1阪疋p>u’g>u·o。对V∈(0，)，设，0g一，由(·4)式：02当p=2时，考虑一u一(+[])A一1u一(+[])={[量套薹霎+1]：。，。q一}用类似的方法得到㈦：0

7、理2对上述自仿对(A，D)，设％(㈤一(㈤q-1其中0p一1，0≤口一1，令Tj：pU-&J()0：0，1，．．·，，q一1)，显然T=U，则i=0j=o决定了的部分边界．220数学的实践与认识44卷证明显然T是由{s，』)所生成，由(1．4)并注意到p-1十(pq)一q一=Tk+l，容易计算j(T)中的元素具有如下形式．Il薹+尊一扣南+一k∑=l川“]jI(2．3)舯甬由于{,ri星k∑∞=

8、是连通的，故对任意的∈TO：0，1，2，⋯，q一1)，必存在，使得n≠≠1)由于{妻k=l舞+Jq：0