资源描述：
《自仿射分形几何-谢和平》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、自仿射分形几何谢和平张永平(中国矿业大学),:目前自相似分形已被广泛地应用于众多可以这样说相似是在所有方向上以l司一,,的领域在一定程度上揭示了自然界的某些规比率收缩或扩展一个几何图形的线性变换而.〔1~5】律特征然而自相似分形揭示的只是在均仿射则是按照不同方向进行不同比率的收缩或.,匀膨胀或收缩的线性变换群作用下图形的性扩展的线性变换可见仿射是非均匀的线性,,;相,质在一定范围(区域)内由一个分形维数就变换似是均匀的线性变换是仿射的特..可,以加以描述它远远不能反映大自然的丰富例为此在分形几何这个奥妙无穷的学科.,,里性和复杂性为了考虑更为复杂的分形必须为与其他非线
2、性变换群和非均匀线性变换,即,使用多重分形维数来定义同一结构描述在群相区别我们把均匀线性变换群作用下的分.,各种变换群下图形的性质形自相似分形称为线性分形其余均称为仿射儿何可追溯到欧拉时期,斯纳帕尔非—线性分形.(SnaPPer)和特罗耶(Troyer)对仿射几何的描线性分形又分为严格线性分形、统计线性‘.:“,述是粗略地说仿射几何是从欧儿里得几何分形和随机线性分形严格线性分形是严格自、、.面,中几乎尽可能地移去度量长度积角度等等相似的即存在数学上的无限嵌套统计线性,·,之后剩下的人们可以想象仿射儿何是一个贫分形其肩相似性仅在统计意义下成立分形.,,”〔:穷不堪的主题
3、与此相反它又是相当丰富的几何的总体框架可粗略地表述如下“].厂‘严格分形(也;弓1u
4、称数学分形)一致分形—(线性分形(自相似分形);‘均匀变换群’统计分形一致分形分形几何}撇(研究变换群下图形2、‘{非;一致分形,性质D邢>刀哟lf自反演分形[e1(非线性变换群);七非线性分形(多重维数)悦目仿剔分形(非均匀线性变换群);(非均匀线性变换群和七目平方分形(非线性变换群).非线性变换群),在非线性分形中与线性分形最接近的是x,,,,x它把每一个点一(xl⋯xa⋯劝变换,,;r,,,,,x1,,自仿射分形曼德尔伯罗特(MandelbrotB.成(x)一(x⋯xa⋯劝~(
5、x几⋯...B)最初把自仿射与自相似划为一类在自仿,⋯,xara耘肠)因此把集合s变换成集合,。射r分形中对一个结构的描述是由多重维数来(S)、、表征的(间隙维数质量维数整体维数和局一;个有界集S关于比率向量和一个整数N,,,部维数等等)它能本质地反映大自然的丰富是自仿射的仅当S是N个互不交叠子集的并.,.性和复因此自仿射分形将会展现出r“”杂性[7]其每个叠合于(5)这里叠合的意思是除去.比自相似分形更为美好的应用前景.相差一个平移或旋转外是恒等的r,、、一个无界集亏关于比率向量是自仿射的一自仿射对角仿射与自仿射分形;仅当集合(S)叠合于s.1.自仿射如果某一集合的
6、统计性质经过仿射变换仍,.E的,在维数为欧几里得空间中一组正实与原集合叠合则称为统计自仿射r,,几,,.:数比率~(rl⋯⋯、)确定一个仿射上述定义经常在下列条件下应用(幼S是一-65012卷9期确多余奋.一个从标量时间t到一个E一1维欧几里得向量性变换是一个平移和一个矩阵乘积的序列而·’x(t)的图形;(b)r:~ra~“一rE一‘~的函数一对角仿射则是选取矩阵为对角的且它的对角元八r:;,,:.,(e)钾在这种情形直接定义如下一个时素不恒等的情形显然两个对角仿射的乘积间x(t)关于指数。t。,,到向量的函数和焦点时间是仍是对角仿射因此一族对角仿射可以作为.,r尸自
7、仿射的如果存在一个指数log澎109~一个群的基众>O,使得对每一个h>o,函数犷“x〔h(t一t。)34.自仿射分形.一e-与h无关首先考察作为推广谢尔宾斯基(Sirpin.一个非常特殊的例子是维纳(Wiener)尺度ski)地毯的例子取半开的单位正方形作为起n,的布朗(Brow)运动轨迹它是具有独立的和始元(initi就or)(半开意思是指上边和右边是..,确定高斯增量的随机过程这一轨迹具有一个开的而且下边和左边是闭的对矩形也是考虑:.B(0)二0,b>,1euerae不变性质假设对每个比率0过半开的)把图上的结构作为生成元(g..,B(t)和一工‘,ttor)3
8、x4~程b叨(bt)的分布恒等人们看到和由此把起始元分成12个子矩形,一l牌,,刀的尺度改变比率是不同的因此B(t)到b部分并且删去中间两个(用黑的表示)然后,,12B(bt)的变换不是自相似的但却是一个更一再删去这个子矩形中间的两个子子矩形部.般的仿射.分这个过程无限重复下去,最终的自仿射地..2erossoversc)20“十”tenths)的并n切割尺度(ale毯是N~个度音阶(一iB(t),九一N~10的每个十度音阶是从整体由具有对于布朗运动轨迹维纳最早的解释到:t,朴,、,‘“·是是时间B是在空间坐标轴上一个物质点r一r一的对角仿射而获得的
