几类非负矩阵分解算法及其在图像处理中的应用.pdf

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1、第28卷第5期平顶山学院学报Vo1．28No．52013年10月JoumalofPingdingshanUniversityOct．2013几类非负矩阵分解算法及其在图像处理中的应用柯艺芬，马昌凤(福建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州350007)摘要：介绍了几类非负矩阵分解算法及其在图像处理中的应用，并进行了图像处理实验，从CPU时间、相对误差以及重构后图像质量等方面对各个算法进行了分析和比较．关键词：非负矩阵分解；图像处理；数值仿真中图分类号：0151．21；TP391．41文献标识码：A文章编号：1673—1670(2013)05-00

2、01一Or7被广泛地应用到人脸检测与识别、图像融合、基因0引言表达数据分析、水系沉积物地球化学数据分析、水在经济数学、计算机科学、概率论以及系统稳体污染源分析、音乐信号分析与乐器识别、盲信号定性分析等领域，经常会遇到一类特殊的矩阵，即分离、声源分类、文本分析与聚类、数字水印、语言非负矩阵，其元素都是非负的，比如，一幅图像就对建模、网络安全等的研究中(参见[1—10])．应一个非负矩阵．关于非负矩阵的分解有一些比较NMF问题可描述如下：强的应用，这是一般矩阵所没有的．给定非负矩阵V∈R，寻找非负矩阵W∈矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一R和非负矩

3、阵HER，使得种有效工具，常用的传统矩阵分解方法有：主成分VWH，分析法(PCA)、独立成分分析法(ICA)、矢量量化或(WH)=∑日，法(VQ)、奇异值分解法(SVD)等，其共同点是允许k=l分解后结果出现负值，从计算角度看这是正确的，也可以用向量积的形式表示，即：但就应用角度看负值是没有实际意义的．Lee和V。一∑W．iH，(1)Seung于1999年在著名科学杂志《Nature)上首次i=1其中y．(=1，2，⋯，m)表示矩阵y的第列，提出非负矩阵分解(NonnegativeMatrixFactor，w．(i=1，2，⋯，r)表示矩阵w的第i

4、列，从而V=NMF)，这是一种新的矩阵分解思路，具有可解释(¨．2'⋯，．)，W=(．1，-2，⋯，．)．性和明确的物理意义以及占用存储空间少等优点．由(1)式可对分解进一步理解为：原始矩阵y自从非负矩阵分解被首次提出之后，十几年来中的列向量是对左矩阵w中所有列向量的加权引起许多科学家和研究人员的广泛重视．有关研究人员在Lee和Seung工作的基础上，依具体的期望和，而权重系数就是右矩阵日中对应列向量的元特性对非负矩阵分解结果施加除非负外的其他限素，故称w为基矩阵，日为系数矩阵(或权矩阵)．制条件后对其算法进行改进，提出了改进的非负矩一般情况下，分

5、解的秩r在选取时满足(+m)r<阵分解算法．现如今NMF已成为图像工程、生物医nm,即r<，从而实现了非线性的维数约减／／,十，学工程、化学工程、模式识别、文本分类和数据挖掘(参见[11—12])．等研究领域中最受欢迎的多维数据处理工具之一，收稿日期：2013—05—25基金项目：国家自然科学基金(11071041)作者简介：柯艺芬(1989一)，女，福建省漳州市人，福建师范大学数学与计算机科学学院硕士研究生，主要研究方向：压缩感知与图像处理．通讯作者：马昌凤(1962一)，男，湖南省隆回县人，博士，福建师范大学数学与计算机科学学院教授，博士生导师

6、，主要研究方向：数值优化与逼近．·2·平顶山学院学报2013焦∑A=∑B=1时，此时D(AI1B)可化简为1非负矩阵分解算法自从Lee和Seung提出非负矩阵分解算法的基本框架后，在实际应用中，有关研究人员还根据具体的期望特性对分解结果施加除非负外的其他限制条件，如：稀疏性、正交性、光滑性等．下面将介绍现有的一些经典的非负矩阵分解算法．minE(VllWH)=min。7．(一(肼))，w．日；≥。OW，≥0々1．1Poisson—ML算法Lee和Seung在文献[12]中用最大似然(Max—imumLikelihood，ML)估计的想法构造第一个N

7、MF问题2：Wm⋯inD(VI1w日)=．日≥0’算法，其中假设矩阵中的每个元素是相互独min(g一+()·(3)立的且服从于以(WH)为参数的泊松(Poisson)分布，并以此假设下的似然函数为价值函数：，=∑∑[V01og(WH)一(WH)]i=1=1其迭代规则如下：一，轰，+一．在上述迭代规则下，该算法收敛到价值函数的一个局部极小值，且称这个算法为Poisson-ML算法(本节之后将以算法的主要思路、目标函数、优化方法或模型对算法命名)，被认为是NMF算法中的先驱算法．1．2SED-EM算法和GKLD—EM算法Hkj+-H~jLee和Seun

8、g在文献[13]中分别提出用矩阵，A和间的欧几里得距离的平方(SquareofEuclidianDistance，SED)