几类非负矩阵分解算法及其在图像处理中的应用_柯艺芬

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1、第28卷第5期平顶山学院学报Vol．28No．52013年10月JournalofPingdingshanUniversityOct．2013几类非负矩阵分解算法及其在图像处理中的应用柯艺芬，马昌凤(福建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州350007)摘要:介绍了几类非负矩阵分解算法及其在图像处理中的应用，并进行了图像处理实验，从CPU时间、相对误差以及重构后图像质量等方面对各个算法进行了分析和比较．关键词:非负矩阵分解;图像处理;数值仿真中图分类号:O151．21;TP391．41文献标识码:A文章编号:1673－167

2、0(2013)05－0001－07被广泛地应用到人脸检测与识别、图像融合、基因0引言表达数据分析、水系沉积物地球化学数据分析、水在经济数学、计算机科学、概率论以及系统稳体污染源分析、音乐信号分析与乐器识别、盲信号定性分析等领域，经常会遇到一类特殊的矩阵，即分离、声源分类、文本分析与聚类、数字水印、语言非负矩阵，其元素都是非负的，比如，一幅图像就对建模、网络安全等的研究中(参见［1－10］)．应一个非负矩阵．关于非负矩阵的分解有一些比较NMF问题可描述如下:n×m强的应用，这是一般矩阵所没有的．给定非负矩阵V∈Ｒ+，寻找非负矩阵

3、W∈矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一n×rr×mＲ+和非负矩阵H∈Ｒ+，使得种有效工具，常用的传统矩阵分解方法有:主成分V≈WH，分析法(PCA)、独立成分分析法(ICA)、矢量量化r或Vij≈(WH)ij=∑WikHkj，法(VQ)、奇异值分解法(SVD)等，其共同点是允许k=1分解后结果出现负值，从计算角度看这是正确的，也可以用向量积的形式表示，即:r但就应用角度看负值是没有实际意义的．Lee和V·j≈∑W·iHij，(1)Seung于1999年在著名科学杂志《Nature》上首次i=1提出非负矩阵分解(Nonneg

4、ativeMatrixFactor，其中V·j(j=1，2，…，m)表示矩阵V的第j列，NMF)，这是一种新的矩阵分解思路，具有可解释W·i(i=1，2，…，r)表示矩阵W的第i列，从而V=性和明确的物理意义以及占用存储空间少等优点．(V·1，V·2，…，V·m)，W=(W·1，W·2，…，W·r)．自从非负矩阵分解被首次提出之后，十几年来由(1)式可对分解进一步理解为:原始矩阵V引起许多科学家和研究人员的广泛重视．有关研究中的列向量是对左矩阵W中所有列向量的加权人员在Lee和Seung工作的基础上，依具体的期望和，而权重系数

5、就是右矩阵H中对应列向量的元特性对非负矩阵分解结果施加除非负外的其他限素，故称W为基矩阵，H为系数矩阵(或权矩阵)．制条件后对其算法进行改进，提出了改进的非负矩一般情况下，分解的秩r在选取时满足(n+m)r＜阵分解算法．现如今NMF已成为图像工程、生物医nm，即r＜nm，从而实现了非线性的维数约减n+m学工程、化学工程、模式识别、文本分类和数据挖掘(参见［11－12］)．等研究领域中最受欢迎的多维数据处理工具之一，收稿日期:2013－05－25基金项目:国家自然科学基金(11071041)作者简介:柯艺芬(1989—)，女，福

6、建省漳州市人，福建师范大学数学与计算机科学学院硕士研究生，主要研究方向:压缩感知与图像处理．通讯作者:马昌凤(1962—)，男，湖南省隆回县人，博士，福建师范大学数学与计算机科学学院教授，博士生导师，主要研究方向:数值优化与逼近．·2·平顶山学院学报2013年1非负矩阵分解算法∑Aij=∑Bij=1时，此时D(A‖B)可化简为i，ji，jK-L散度(或相对熵)，故称上述函数为广义的K-L自从Lee和Seung提出非负矩阵分解算法的散度．基本框架后，在实际应用中，有关研究人员还根据基于上述2种价值函数将NMF问题转化为求具体的期

7、望特性对分解结果施加除非负外的其他解如下2个优化问题:限制条件，如:稀疏性、正交性、光滑性等．下面将介问题1:绍现有的一些经典的非负矩阵分解算法．2minE(V‖WH)=min∑(Vij－(WH)ij)，W，H≥0W，H≥01．1Poisson－ML算法i，jLee和Seung在文献［12］中用最大似然(Max-(2)imumLikelihood，ML)估计的想法构造第一个NMF问题2:minD(V‖WH)=W，H≥0算法，其中假设矩阵V中的每个元素Vij是相互独minVij．(3)W，H≥0∑(Vijlog(WH)－Vij+

8、(WH)ij)立的且服从于以(WH)为参数的泊松(Poisson)分i，jijij虽然函数E(V‖WH)和D(V‖WH)单独地布，并以此假设下的似然函数为价值函数:nm对W和H来讲是凸的，但同时对W和H来讲却不F=∑∑［Vijlog(WH)ij－(WH)ij］．是凸函数．因此