非负矩阵分解及在地学中的应用

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1、地质学刊第38卷第2期doi：】O．3969“．issn．1674．3636．2叭4．02．238非负矩阵分解及在地学中的应用余先川，任雅丽(北京师范大学信息科学与技术学院，北京100875)摘要：非负矩阵分解(NMF)是重要的矩阵分解算法与数据降维工具。介绍了NMF的背景、定义、原理及特征。在已有NMF算法分类的基础上，总结当前流行的NMF算法及研究进展，综述NMF在地学领域中的应用，主要包括高光谱图像的处理与矿产资源预测。对NMF算法的研究方向进行了预测和展望。关键词：非负矩阵分解；局部特征提取；数据降维中图分类号：P628文献标识码

2、：A文章编号：1674—3636(2014)02一0238一070引言正矩阵分解(PositiveMatdxFactorjzation，PMF)早在1994年由Paatem等提出，该思想已初步具备“非负”思想，但其算法并未严格解决非负性的限制。ke等在1999年正式提出非负矩阵分解(Non—negativeMatrixFactodzation，NMF)，用来发现一个表示非负数据的基础函数集，它在矩阵分解过程中加入了非负性的限定条件，基于非负矩阵分解提取的特征向量更能反映样本的局部特征。NMF通过全新的分解模式为处理大规模数据提供了新的途径

3、，同时具有实现简单、分解结果可解释性强、占用存储空间少等诸多优点。传统的矩阵分解方法，如PCA(主成分分析)、ICA(独立成分分析)、SVD(奇异值分解)、VQ(适量量化)等，它们都是将原始矩阵近似分解为低秩矩阵。传统的矩阵分解算法具有2个不可避免的缺点。首先，无法保证分解结果的非负性，虽然从计算的角度来看，运算结果存在负值是无可厚非的，但在很多实际问题中，负值往往没有意义，也无法解释，比如图像数据中不可能有负值的像素点，遥感、化探、物探等数据中也不可能存在负值的数据。因此，对非负矩阵分解算法的探索具有非常现实的意义。其次，传统矩阵分解对

4、数据的表示是基于整体的。而在实际问题中，往往只需刻画数据的部分特征。与传统的特征提取方法(PCA、ICA)相比，NMF在处理大规模数据及局部特征的提取方面具有很大优势。此外，在现实生活中，随着各类数据在迅速扩增，形成了严峻的“维数灾难”，而NMF是解决“维数灾难”问题的一种重要的数据处理手段。在实际应用和操作中，NMF算法存在解不唯一的问题，算法求得解的好坏和收敛快慢很大程度上依赖于初始值选取的好坏。为解决这个问题，很多文献给出了NMF初始化的策略(Lan鲥lleetal，2006；Zhengetal，2007；Xueetal，2008；

5、Rezaeietal，2011)。好的初始化可以提高NMF算法的速度和精度，很多NMF算法对矩阵初始化都很敏感，Al—bright等(2006)给出了基于交替最小二乘法(ALS)的NMF的初始化方法。对NMF初始值的选取是NMF算法处理中相当重要的一个课题。NMF算法通过简单迭代的方法求解，具有收敛速度快，将高维数据降至低维空间的特点。一经提出，便得到了各个领域的科研工作者的重视。从已有的研究来看，NMF被广泛应用于图像识别、人脸识别、图像聚类、图像解混、图像配准、图像融合、矿产预测、医学图像分割、图像检索、基{天

6、分析、语音识别、文本聚

7、类、图像压缩、盲源分离、图像检索等领收稿日期：2014—04一04；编辑：陆李萍基金项目：教育部博士点基金(20120003110032)，巾央高校基本科研业务专项基金北京师范大学重点项目(2012LzD05)，国家自然科学基金(41272359)作者简介：余先川(1967～)，男，教授，博士生导师，博士，主要从事影像处理、数学地质、空间信息处理等研究，E—mail：yuxianchuaIl@163．com第38卷余先川等：非负矩阵分解及在地学中的应用239域。NMF从提出到现在已过了数十年，其相关算法及应用都得到了很大的发展，并取得了令

8、人欣喜的成果，对其发展轨迹及应用现状进行总结将对以后的科研工作起到很好的指导作用。1NMF理论NMF是一种新兴的矩阵分解算法，它克服了传统矩阵分解的问题，如分解结果为负以及对数据表示基于整体等。NMF的基本思想可以描述为(余先川等，2011；Yuetal，2014)：对于任意给定的1个非负矩阵y，NMF算法能够寻找到1个非负矩阵w和1个非负矩阵日，使得满足y=wH，从而将1个非负的矩阵分解为2个非负矩阵的乘积。由于分解前后的矩阵中仅包含非负的元素，因此，原矩阵y中的列向量可以解释为对基矩阵W中所有列向量(称为基向量)的加权和，而权重系数为

9、系数矩阵日中对应列向量中的元素。这种基于基向量组合的表示形式具有很直观的语义解释，它反映了人类思维中“局部构成整体”的概念。NMF理论的数学模型如下。已知非负矩阵y，寻找适当的非负矩阵因子W和