一类亚纯函数项级数的留数算法.pdf

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1、2006年6月纯粹数学与应用数学Jun.2006第22卷第2期PureandAppliedmathematicsVol.22No.2一类亚纯函数项级数的留数算法李志荣(中山火炬职业技术学院公共课部广东中山528436)摘要:讨论在deg@-degP1条件下有理函数项级数以及它与三角函数之积的亚纯函数项级数的和得到它们的计算公式并同时得到一些特殊和式的计算公式.关键词:亚纯函数;级数和式;留数;极点中图分类号:0174.5文献标识码:A文章编号:1008-5513(2006)02-0167-06P(Z)设f(Z)=为有理函数当deg@-@(Z)degP2且f(Z)的极点不为整

2、数时级数OZf(k)可求和(即在级数收敛时求和如文k=-O[1]).本文对该结论进行推广用类似文[2]中的方法讨论仅在条件deg@-degP1下级n数limZf(k)的和从而进一步讨论级数n--Ok=-n-nkiok的和(o为实数且-TlimZ(-1)f(k)en--Ok=-n

3、正方形的边界(如图1)这里n是正22收稿日期:2005-01-14.基金项目:国家自然科学基金资助项目(10472097).作者简介:李志荣(1962-)副教授研究方向:复分析~组合数学.168纯粹数学与应用数学第ZZ卷整数.引理1[1]设f(z)=P(z)是有理函数,deg@-degPZ,则@(z)limf(z)TCOTTzdz=0(1)n-+>1n引理2在引理1中,即使只有deg@-degP1,而其它条件不变,则(1)式仍成立.证明由引理1的结论,下面只需证明在deg@-degP=1时(1)式也成立.设f(z)为这样的有理函数,由文[Z]中定理Z的证明可令Cf(z)=+

4、f1(z)(Z)z其中C是非零常数,f是满足引理1中条件的有理分式,有1(z)limf1(z)TCOTTzdz=0(3)n-+>1n又由图1有COTTzCOTTzCOTTzCOTTzCOTTzdz=dz+dz+dz+dz1zABzBCzCDzDAzn因线段CD与线段AB关于坐标原点对称,则COTTzCOTTzdz=-dzCDzABzCOTTzCOTTz同理dz=-dz,因此DAzBCzCTCOTTzCOTTzdz=CTdz=0(4)1z1znn由(Z)(4)式得当deg@-degP=1时(1)式成立.引理Z证毕.引理3设O是满足-T

5、的正实数R,使得在1n上,R;sinTziOze(B)limdz=0.n-+>1zsinTzn证明(A)如图1,设线段AB的参数方程为11z=x+i(n+),xn+(5)ZZ则在AB上,对-T0,有iOzZ-(Zn+1)O+iZOx(Zn+1)T3Teee4e=3TsinTzZZ1Z1e-ZsinxT+sh(n+)Tsh(n+)TZZiOz所以,存在与n无关的正实数R,使得在AB上,eR.sinTz同理,在正方形的其它三边上,结论(A)也成立.所以在1上,结论(A)成立.n第Z期李志荣一类亚纯函数项级数的留数算法169(B)由图1,在线段CD上,令z=-

6、t,则ioz-iotee-cosot+isinotdz=d(-t)=dtCDzsinrzABz(-t)sin(-rt)ABtsinrt于是ioziozeesinozdz+dz=ZidzABzsinrzCDzsinrzABzsinrz同理ioziozeesinozdz+dz=ZidzBCzsinrzDAzsinrzBCzsinrz所以在1上niozesinozsinozdz=Zidz+Zidz(6)1zsinrzABzsinrzBCzsinrzn又在^B上由(5)式,有Z11Zch(n+)och(n+)osinozZsinozZ,即sinrzZ1sinrz1Sh(n+)rSh(

7、n+)rZZ所以,当-r