中考数学压轴题(附详解答案)

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1、中考数学压轴题（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．FMNN1M1F1Oyxl 第22题图⑴求b的值．⑵求x1•x2的值⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b=1⑵

2、显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．⑷存在

3、，该直线为y=－1．理由如下：FMNN1M1F1Oyxl 第22题解答用图PQ直线y=－1即为直线M1N1．如图，设N点横坐标为m，则（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。（1）如图（8），若是⊙的直径，求证：；（2）如图(9)，若是⊙外一点，求证：；（3）如图（10），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接，∵为⊙的直径∴∴为⊙的直径∴在上又，为的中点∴△是

4、以为底边的等腰三角形∴（3分）（2）如图（二），连接，并延长交⊙与点，连∵四边形内接于⊙∴又∵∴∴又为⊙的直径∴∴（3分）（3）如图（三），连接，并延长交⊙与点，连∵又∴∴又∴（3分）（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。xy0A答

5、案：25．（10分）解：（1）∵∴由题意得，（3分）（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则。设∴又∴∴∴，∴定值（3分）xy0ANBM（3）令，即时，有由题意，为完全平方数，令即∵为整数，∴的奇偶性相同∴或解得或综合得（2011年广东茂名市）第24题图χ如图，⊙P与轴相切于坐标原点O（0，0），与轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；（４分）（2）若AC=,D是OＢ的中点．问：点O、P、C、

6、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示）．（４分）解：第24题备用图χ六、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，，1分在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO，····························2分∴，即，····················3分∴，∴·········

7、···········4分解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径，∴∠ACO=90°在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，············1分过C作CE⊥OA于点E，则：，即：，∴，·························2分∴∴，·········3分设经过A、C两点的直线解析式为：．把点A（5，0）、代入上式得：，解得：，∴，∴点．·4分（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，∴，∴∠3=∠4，又∵O

8、P=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；·················6分由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，，OD=，∴，点在函数的图象上，∴，∴．················8分