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1、中考数学压轴题(黄冈市2011)24.(14分)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).FMNN1M1F1Oyxl 第22题图⑴求b的值.⑵求x1•x2的值⑶分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.答案:24.解:⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解,解方程组消元得,依据“根
2、与系数关系”得=-4⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下:由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1•F1N1=-x1•x2=4,而FF1=2,所以F1M1•F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.⑷存在,该直线为y=-1.理由如下:FMNN1M1F1Oyxl 第22题解答用图PQ直线y=-1即为直
3、线M1N1.如图,设N点横坐标为m,则(黄石市2011年)24.(本小题满分9分)已知⊙与⊙相交于、两点,点在⊙上,为⊙上一点(不与,,重合),直线与⊙交于另一点。(1)如图(8),若是⊙的直径,求证:;(2)如图(9),若是⊙外一点,求证:;(3)如图(10),若是⊙内一点,判断(2)中的结论是否成立。答案:24.(9分)证明:(1)如图(一),连接,∵为⊙的直径∴∴为⊙的直径∴在上又,为的中点∴△是以为底边的等腰三角形∴(3分)(2)如图(二),连接,并延长交⊙与点,连∵四边形内接于⊙∴又∵∴∴又为⊙的直径∴∴(3分)(3)如图(三),连接
4、,并延长交⊙与点,连∵又∴∴又∴(3分)(黄石市2011年)25.(本小题满分10分)已知二次函数(1)当时,函数值随的增大而减小,求的取值范围。(2)以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形(,两点在抛物线上),请问:△的面积是与无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。(3)若抛物线与轴交点的横坐标均为整数,求整数的值。xy0A答案:25.(10分)解:(1)∵∴由题意得,(3分)(2)根据抛物线和正三角形的对称性,可知轴,设抛物线的对称轴与交于点,则。设∴又∴∴∴,∴定值(3分)xy0ANBM(3)令,即时,有由题意
5、,为完全平方数,令即∵为整数,∴的奇偶性相同∴或解得或综合得(2011年广东茂名市)第24题图χ如图,⊙P与轴相切于坐标原点O(0,0),与轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.(1)已知AC=3,求点B的坐标;(4分)(2)若AC=,D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值(用含的代数式表示).(4分)解:第24题备用图χ六、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)24、解:(1)解法一:连接OC,∵OA是⊙P的
6、直径,∴OC⊥AB,在Rt△AOC中,,1分在Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO,····························2分∴,即,····················3分∴,∴····················4分解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径,∴∠ACO=90°在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4,············1分过C作CE⊥OA于点E,则:,即:,∴,·························2分∴∴,·········3分设经
7、过A、C两点的直线解析式为:.把点A(5,0)、代入上式得:,解得:,∴,∴点.·4分(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下:连接CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D为OB上的中点,∴,∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∴PC⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上;·················6分由上可知,经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点,圆心,由
8、(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,∴,求得:AB=,在Rt△ABO中,,OD=,∴,点在函数的图象上,∴,∴.················8分
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