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时间:2020-04-15
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1、第15讲抽屉原理(一) 如果将5个苹果放到3个抽屉中去,那么不管怎么放,至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单,如果每个抽屉中放的苹果都少于2个,即放1个或不放,那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3,这与有5个苹果的已知条件相矛盾,因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。 同样,有5只鸽子飞进4个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”,也叫“鸽笼原理”。抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
2、 说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件,那么每一个抽屉中的物品或者是一件,或者没有。这样,n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件,这与有多于n件物品的假设相矛盾,所以前面假定“这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立,从而抽屉原理1成立。 从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件,最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品,共放入n件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。例1某幼儿园有3
3、67名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?分析与解:1996年是闰年,这年应有366天。把366天看作366个抽屉,将367名小朋友看作367个物品。这样,把367个物品放进366个抽屉里,至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?分析与解:因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“抽屉”里。 将四个自然数放入
4、三个抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。例3在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数?分析与解:根据例2的讨论,任何整数除以3的余数只能是0,1,2。现在,对于任意的五个自然数,根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数,于是可分下面两种情形来加以讨论。 第一种情形。有三个数在同一个抽屉里,即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍,故能被3整除,所以这三个数之和能被3整除。 第二种情形。至多
5、有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每个抽屉里各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个数之和能被3整除。 综上所述,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3的倍数。例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不大于1厘米?分析与解:把长度10厘米的线段10等分,那么每段线段的长度是1厘米(见下图)。 将每段线段看成是一个“抽屉”,一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点(包括这些线
6、段的端点)。由于这两个点在同一个抽屉里,它们之间的距离当然不会大于1厘米。 所以,在长度是10厘米的线段上任意取11个点,至少存在两个点,它们之间的距离不大于1厘米。例5有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?分析与解:由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。 对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形: (奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),
7、其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性。 将这4种情形看成4个抽屉,现有5堆水果,根据抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数,偶数加偶数仍为偶数,所以在同一个抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。例6用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色(见右图),每个小方格涂一种颜色。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?分析与解:用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色,只有下面四种情形: 将上面的四种情形看成四
8、个“抽屉”。根据抽屉原理,将五列放入四个抽屉,至少有一个抽屉中有不少于两列,这两列的小方格中涂的颜色完全相同。 在上面的几个例子中,例1用一年的366天作为366个抽屉;例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0,1,2作为3个抽屉;例4将一条线段的10等份作为10个抽屉;例5把每堆水果中,苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉;例6将每列中
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