数学几何MicrosoftWord文档.doc

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1、环环相扣，路路相通——从五角星到黄金分割的教学预设问题1　五角星，特别是正五角星（如图1），是我们常见的图形，我国的国旗上就有一个大五角星和四个小五角星，那么，从几何图形的角度，你对正五角星有哪些认识呢？2　引导探究 探究一：图3中的角（1）36°的角：在每个顶点处增加为3个，共有15个；（2）每两个相邻的36°角组成一个72°的角，这样，每个顶点处也增加了两个72°的角，总数亦达到20个；（3）正五边形的每个内角是108°，加上中间正五边形的内角的对顶角，108°的角有15个；（4）图3中只有36°、72°和108°的角，度数

2、之比为1：2：3．探究二：图3中的相等线段（1）FG=GH=HI=IJ=JF；（2）AF=FB=BG=GC=CH=HD=DI=IE=EJ=JA；（3）AE=AI=AG=AB（BA）=BJ=BH=BC（CB）=CF=CI=CD（DC）=DG=DJ=DE（ED）=EH=EF=EA；（4）AC=CE=EB=BD=DA．探究三：图3中的三角形（1）以36°为顶角的等腰三角形，有三类，如图4．①△BFG≌△CGH≌△DHI≌△EIJ≌△AJF；②△AEI≌△AGB≌△BAJ≌△BHC≌△CBF≌△CID≌△DCG≌△DJE≌△EDH≌△E

3、FA；③△ADC≌△BED≌△CAE≌△DBA≌△EBC．显然，所有这些三角形都是相似的．（2）以108°为顶角的等腰三角形，有两类，如图5．①△AFB≌△BGC≌△CHD≌△DIE≌△EJA；②△BAC≌△CBD≌△DCE≌△EDA≌△AEB≌△BJD≌△CFE≌△DGA≌△EHB≌△AIC；显然，所有这些三角形也都是相似的．探究四：图3中的四边形图3中“藏”有两类各5个全等的等腰梯形，和5个全等的菱形，如图6．  探究五：“A型图”和“Z型图”梯形和菱形中都含有平行线，平行线还可帮助我们在图（3）中发现“A型图”和“Z型图”

4、，它们都是我们非常熟悉的有关相似三角形的基本图形，如图7．                                                                                   有了A型图”和“Z型图”，我们就可以进一步探究线段之间的比了．比如：在图7（2）中，因为，而AG=BC，所以，也就是说：AG是AD和GC的比例中项，又因为AD=AC，因此，AG又是AC和GC的比例中项．再如：图7（3）中，因为，而BG=GC，所以，又因为GD=FC，所以，即GC是FG和FC的比例中项．定义：点

5、G把线段AC分成AG和GC两部分，如果（即），那么就叫做线段AC被点G黄金分割，点G叫做线段AC的黄金分割点，AG与AC的比叫做黄金比（或黄金数）．设AC=1，AG=x，则GC=1-x，于是，解得，也就是说黄金比等于，约为0.618．探究六：图3中还有哪些黄金比（1）线段之比把图（3）中的部分线段隐藏，可分别得到图（8）中的各图．①如图8（1），因为△ABG∽△BGF，于是BG：AG=FG：BG，所以②BG是AG和FG的比例中项，因为BG=AF，所以F是AG的黄金分割点，FG：AF，AF：AG都是黄金比．            

6、                          ②同理，如图8（2），由△BED∽△EDH可得H是BD的黄金分割点，DH：BH，BH：BD都是黄金比．③如图8（3），由△AEB∽△AFB可得F是BE的黄金分割点，BF：EF，FE：BE都是黄金比．（2）面积之比因为，所以△ABF与△ABG的面积之比也是黄金比，同理，△ABG与△ABC的面积之比、△AIC与△ADC的面积之比也都是黄金比，等等．